2.4. Переменные

Рассмотрим такую задачу: «Денис старше Матвея на $2$ года. Сколько лет будет Денису, когда Матвею будет $10$ лет?» Решить ее можно следующим образом:

$10 + 2 = 12$.

А интересно, сколько лет будет Денису, когда Матвею будет $11$ лет? Решение в этом случае выглядит так:

$11 + 2 = 13$.

А если Матвею будет $12$ лет? — Тогда так:

$12 + 2 = 14$.

Спрашивается, нельзя ли как-нибудь на все подобные вопросы ответить раз и навсегда в виде какого-нибудь правила? Оказывается можно:

(возраст Дениса) = (возраст Матвея) + $2$.

Правила, записанные в виде равенств, называются формулами. Математикам очень часто приходится исписывать целые страницы разными равенствами и формулами, поэтому они стремятся делать их, по возможности, краткими. Математик предпочел бы написать следующим образом:

Д = М + $2$,

а потом отдельно пояснить, что Д означает возраст Дениса, а М — возраст Матвея. Но и это не принесло бы ему полного удовлетворения. Математики предпочитают пользоваться буквами самого распространенного в мире алфавита — латинского. Вот запись, которая удовлетворила бы математика полностью:

$d = m + 2$.

Разумеется, как и ранее, к этой формуле необходимо еще приложить пояснения, что $d$ — это возраст Дениса, а $m$ — это возраст Матвея.

Итак, скажите мне, сколько лет Матвею, — и, глядя на эту формулу, я вам быстро отвечу, сколько лет Денису. Принято говорить: если $m$ принимает значение $10$, то $d$ принимает значение $12$. Или: если ${m = 10}$, то ${d = 12}$. Буквы, которые входят в математические выражения и которые могут принимать разные численные значения, называются переменными.

Мы уже довольно давно занимаемся математикой и успели за это время сделать кое-какие важные математические открытия. С помощью формул мы можем теперь эти открытия грамотно записать. Например, мы однажды заметили, что если поменять местами слагаемые, то значение суммы не изменится. В виде формулы это записывается следующим образом:

$a + b = b + a$,

где $a$ и $b$ — любые числа. Школьные учителя называют это «переместительным свойством сложения». Лично мне такое словосочетание режет слух. Это примерно то же самое, что сказать: «оранжевое свойство апельсина». Переместительным является, конечно, не свойство, а само сложение. А профессиональные математики используют тут и вовсе другое слово. Они говорят: сложение коммутативно.

Равенства, которые остаются верными при любых значениях входящих в них переменных, называются тождествами. Вот еще пример тождества:

$a + (b + c) = (a + b) + c$,

или, что то же самое,

$a + (b + c) = a + b + c$.

Это знакомое нам правило, по которому можно изменять порядок действий, или, как мы еще говорили, раскрывать скобки. У школьных учителей это называется «сочетательным свойством сложения». Грамотные же люди говорят: сложение ассоциативно.

Но, разумеется, не всякое равенство является тождеством. Зададимся вопросом: коммутативно ли вычитание? Можно ли написать так:

$a − b = b − a$?

Ну, написать-то так, пожалуй, можно: бумага, говорят, все вытерпит. Но вычитание, конечно же, некоммутативно, а значит, данное равенство не является тождеством. Убедиться в этом очень просто. Пусть, например, $a = 2$ и $b = 1$. Подставляем эти значения в равенство и получаем: ${2 − 1 = 1 − 2}$. Ерунда какая-то! Но, с другой стороны, пусть ${a = 5}$ и ${b = 5}$. В этом случае равенство принимает вид: ${5 − 5 = 5 − 5}$. Ну, что ж, спорить нечего, так оно и есть. Равенство, которые становятся верными лишь при некоторых значениях переменных, называются уравнениями.

Уравнениями очень удобно пользоваться при решении всевозможных математических задач. Вернемся к задаче про Дениса и Матвея: «Денис старше Матвея на $2$ года. Каков будет возраст Дениса, $d$, когда Матвею будет $m$ лет?» Мы твердо знаем, что Денис всегда останется старше Матвея на одно и то же число лет. Поэтому мы можем составить следующее уравнение:

$d − m = 2$.

Здесь две переменные, а именно $d$ и $m$. Следует отметить, что роль этих переменных неодинакова. Предполагается, что численное значение переменной $m$ нам известно. Если даже мы не знаем этого значения сейчас, то, вероятно, нам назовут его когда-нибудь потом. И уж, во всяком случае, его нахождение не входит в нашу задачу. Такие переменные называются параметрами. В противоположность этому, о численном значении переменной $d$ нам никто никогда не собирается сообщать. Наша задача как раз и заключается в том, чтобы его найти. Такие переменные называются неизвестными.

Решить уравнение — это значит выписать формулу, по которой можно вычислить значение неизвестной, если нам скажут численное значение параметра. В данном случае решение — это

$d = m + 2$.

Давайте посмотрим, как мы пришли от исходного уравнения

$d − m = 2$.

к его решению. Ну, мы пристально посмотрели на уравнение, что-то прикинули в уме и выписали результат. Так делать, конечно, можно. Однако в математике разработаны особые методы, которые позволяют решать уравнения без особенного умственного напряжения. Тут очень удобно воспользоваться одним простеньким приемом.

Но сперва — небольшое отступление. Допустим, у Дениса в брюках есть два кармана, один слева, другой справа. В этих карманах лежат конфеты. Точное количество конфет нам неизвестно, но мы знаем, что в левом и правом карманах конфет поровну. Введем обозначения. Пусть $L$ — это число конфет в левом кармане, а $P$ — это число конфет в правом кармане. На основе имеющихся у нас сведений, мы можем составить уравнение:

$L = P$.

Далее события развиваются так. Денис положил в левый карман еще одну конфету и в правый карман еще одну конфету. Ясно, что в обоих карманах конфет снова оказалось поровну:

$L + 1 = P + 1$.

А что было бы, если бы Денис положил в каждый карман не по одной конфете, а по двум или трем или десяти? Ну, наши рассуждения тогда не сильно бы изменились. Просто в новом уравнении вместо «$1$» мы написали бы «$2$» или «$3$» или «$10$». Рассмотрим ситуацию, как говорят математики, в общем виде. Пусть Денис положил в каждый карман по $k$ конфет. В обоих карманах конфет как было, так и осталось поровну. Значит,

$L + k = P + k$.

Заметим, что параметр $k$ может даже быть отрицательным (то есть Денис не кладет конфеты, а, наоборот, берет их).

Тут напрашивается очень важный вывод. Оказывается, что если у нас есть какое-то уравнение, то к обеим его частям можно одновременно прибавить одно и то же число, и тогда уравнение, по своей сути, не изменится. Если при каких-то значениях переменных первое уравнение обращается в верное равенство, то при тех же самых значениях переменных обратится в верное равенство и второе уравнение. И наоборот, если обратилось в верное равенство второе уравнение, то и с первым уравнением случилось то же самое. Иными словами, оба уравнения имеют одинаковые решения. Профессиональные математики в этом случае говорят, что уравнения эквивалентны.

Вернемся теперь к задаче про возраст Дениса и Матвея. Мы получили уравнение

$d - m = 2$.

Давайте преобразуем это уравнение, прибавив к обеим его частям параметр $m$:

$d - m + m = 2 + m$.

После очевидных упрощений новое уравнение принимает вид:

$d = m + 2$.

Вот и всё! Решение получено.

Рассмотрим теперь другую, но очень похожую задачу, в которой вопрос поставлен несколько по-другому: «Денис старше Матвея на $2$ года. Каков будет возраст Матвея, $m$, когда Денису будет $d$ лет?» Уравнение, которое можно составить по этому условию, оказывается по виду точно таким же, как и прежде:

$d - m = 2$.

Однако, на этот раз переменная $d$ является параметром, а переменная $m$ — неизвестной. В таких случаях еще говорят, что уравнение требуется решить относительно переменной $m$. Такое решение находится лишь ненамного труднее предыдущего. Приобразуем уравнение, прибавив к обеим его частям вначале $m$, а потом $(-2)$:

$d - m + m - 2 = 2 + m - 2$.

После упрощений получаем:

$d - 2 = m$.

Тут стоит обратить внимание вот на что. В исходном уравнении переменная $m$ была в левой части, и перед ней стоял знак минус. В конечном уравнении эта же переменная находится в правой части, и подразумевается, что перед ней стоит знак плюс. Говорят, что слагаемые в уравнениях можно переносить из одной части в другую с противоположным знаком (то есть минус следует менять на плюс, а плюс — на минус). В данном случае, справедливость этого правила можно также проследить на числе $2$. Вначале двойка стояла справа, и перед ней подразумевался знак плюс. А в конце она оказалась слева со знаком минус.

Теперь вспомним о задаче, которую мы решаем. В полученном уравнении осталось только поменять местами левую и правую часть — и ответ готов:

$m = d - 2$.

После того, как уравнение решено, полезно сделать так называемую проверку, то есть подставить найденное решение в исходное уравнение и посмотреть, что получится. Например, в данном случае, в исходном уравнении,

$d - m = 2$,

надо $m$ заменить на ${(d - 2)}$:

$d - (d - 2) = 2$.

И что же получилось? Ну, конечно, тождество! Если бы мы не получили тождества, это бы означало, что уравнение решено неверно.

Подобные же рассуждения применимы и к неравенствам. Рассмотрим, для примера, такую задачу. Сколько лет должно пройти, чтобы Матвею можно было официально смотреть фильмы для взрослых? Поскольку человек считается взрослым с $18$ лет, мы должны записать:

$m + x \geqslant 18$,

где $m$ обозначает нынешний возраст Матвея, а $x$ — это число лет, которые ему надо подождать, чтобы его стали пускать в кинотеатр на сеансы для взрослых. Значок «$\geqslant$» у математиков заменяет слова «больше или равно». Ясно, что если прибавить (или отнять) от обеих частей неравенства одно и то же число, то оно оcтанется по сути тем же самым. Или, говоря точнее, оно превратится в эквивалентное неравенство, которое имеет в точности то же самое решение, что и первоначальное. Отнимаем от обеих частей нашего неравенства число $m$ и получаем:

$x \geqslant 18 - m$.

Если Матвею сейчас, допустим, $12$ лет, то

$x \geqslant 18 - m = 18 - 12 = 6$,

или, окончательно:

$x \geqslant 6$.

Таким образом, для того чтобы Матвей мог официально смотреть фильмы для взрослых, должно пройти $6$ лет или больше.

Точно так же, нам может приготиться понятие «меньше или равно», которые обозначается значком «$\leqslant$». Допустим, мы в составе группы из $a$ человек дожидаемся лифта в многоэтажном доме. Грузоподъемность лифта ограничена $12$ человеками, но, когда он подойдет, может оказаться, что в нем уже есть $x$ человек. Спрашивается, каково должно быть значение $x$, чтобы вся наша группа зараз поместилась в лифте? Записываем:

$a + x \leqslant 12$,

и, применив наш обычный трюк, получаем:

$x \leqslant 12 - a$.

Отметим заодно, что вся эта задача имеет смысл, только если численность нашей группы меньше или равна $12$ человек:

$a \leqslant 12$.

Посмотрим теперь, как ведут себя переменные в примерах на умножение и деление. Пусть требуется найти неизвестную переменную $x$ в уравнении:

$x / 3 = 4$.

По условию нашей задачи, $x/3$ и $4$ — это одно и то же число, просто записанное двумя разными способами. Умножим-ка мы это число на $3$. И результат тоже запишем по-разному:

$(x / 3) \cdot 3 = 4 \cdot 3$.

Здесь деление и умножение на тройку, конечно же, взаимно отменяют друг друга. С учетом этого получаем:

$x = 12$.

Решение уравнения найдено.

А теперь, пусть дано такое уравнение (опять-таки относительно $x$):

$5 \cdot x = 20$.

Сможем ли мы его решить? Разумеется, сможем. Только вначале — небольшое замечание. Знак умножения «$\cdot$» перед переменной ставить не принято. Когда мы берем переменную $x$ пять раз, то мы пишем просто $5x$, точно также как мы пишем $5$ карандашей или $5$ копеек. Поэтому наше уравнение следует переписать так:

$5x = 20$.

После деления обеих частей на $5$ получаем:

$x = 4$.

А как насчет такого уравнения?

$21 / x = 3$.

Это уравнение решается в два действия. Вначале умножаем обе его части на $x$:

$21 = 3 x$.

А потом делим на $3$:

$7 = x$.

Теперь остается только для большей красоты поменять местами левую и правую части этого равенства:

 $x = 7$,

и решение окончательно готово.

Если после всего этого нам встретится неравенство с неизвестным, такое, например, как

$2 x > 10$,

то мы, конечно, не растеряемся и тоже сможем легко найти его решение

$x > 10 / 2$,

потому что оно находится с помощью всё тех же самых трюков, что и в случае уравнений. Впрочем, тут надо сделать одну важную оговорку. Хотя мы уже и познакомились с отрицательными числами, умножением и делением на них мы пока еще не занимались. Покуда мы делим и умножаем только на положительные числа, все рассмотренные тут трюки прекрасно работают в одинаковой степени как для равенств, так и для неравенств. Но когда мы перейдем к умножению и делению на отрицательные числа, тогда у неравенств обнаружатся кое-какие особенности, о которых мы будем еще говорить отдельно. Что же касается умножения и деления на ноль, то, как мы знаем, делить на ноль вообще нельзя, а умножать на ноль обе части равенств или неравенств не имеет смысла, потому что при умножении любого числа на ноль получается ноль. Если в обеих частях уравнения или неравенства у нас окажутся нули, то толку от этого ровным счетом никакого не будет.

Конспект

1. Рассмотрим задачу:

Денис старше Матвея на два года. Найти возраст Дениса, если известен возраст Матвея.

Ее условие можно переписать в виде уравнения

$d - m = 2$,

где $d$ — это переменная, означающая возраст Дениса, а $m$ — переменная, означающая возраст Матвея. Считается, что значение переменной $m$ нам известно. Такая переменная называется параметром. Напротив, значение переменной $d$ требуется найти. Такая переменная называется неизвестной. Чтобы ответить на вопрос задачи, решаем уравнение относительно переменной $d$ и получаем формулу

$d = m + 2$,

позволяющую рассчитать возраст Дениса, если дан возраст Матвея. Пусть, например Матвею $10$ лет. Подставляем $10$ в формулу вместо $m$ и получаем

$d = 10 + 2 = 12$ — столько лет Денису.

2. Свойства сложения, записанные в виде формул:

$a + b = b + a$  — переместительное (коммутативность);

$a + (b + c) = (a + b) + c$  — сочетательное (ассоциативность).

Эти равенства являются тождествами: они верны при любых значениях переменных.

3. В отличие от тождеств, уравнения — это равенства, которые становятся верны только при некоторых значениях переменных. Решить уравнение относительно входящей в него переменной $x$ — это значит найти такое значение $x$, при котором уравнение обращается в верное равенство. Уравнения решаются с помощью преобразований, позволяющие получать более простые, но эквивалентные уравнения (то есть уравнения с теми же самыми решениями). Правила преобразований: (1) к обеим частям уравнения можно прибавлять одно и то же число (в том числе отрицательное), (2) обе части можно умножать или делить на одно и то же число (пока только натуральное). Следствие правила (1): слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другое с противоположным знаком.

4. Неравенства также могут содержать неизвестную переменную. Они решаются с помощью таких же преобразований, как и уравнения.

Задачи

2.4.1. Определить, какие из следующих равенств являются тождествами, а какие — уравнениями. Особо отметить уравнения, не имеющие решений (то есть такие равенства, которые не становятся верными ни при каких значениях переменных).

$x - y = 5$;
$x - 5 = 5$;
$-(-x) = x$;
$-(-x) = -x$;
$-(x - y) = -(y - x)$;
$-(x - y) = y - x$;
$x + 2 = x$;
$x - (y + z) = x - y - z$;
$x - 2 = x$.

2.4.2. Для каждого выражения из левого столбца найти тождественное выражение из правого столбца. (Два выражения называются тождественными, если при постановке между ними знака равенства получается тождество.)

$x$		$-(x - 1)$
$1 - x$		$- y + x$
$x - x$		$5 + x - 5$
$x - y$		$-y - x$
$-(x + y)$		$3 - 3$

2.4.3. Раскрыть скобки:

$a + (b + c)$;
$a - (b + c)$;
$a + (b - c)$;
$a - (b - c)$;
$a + (-b + c)$;
$a - (-b + c)$;
$a + (-b - c)$;
$a - (-b - c)$.

2.4.4. Для каждого уравнения из левого столбца подобрать эквивалентное ему уравнение из правого столбца.

$x - y = 0$		$1 = y$
$x - 3 = y$		$y = x$
$x - y = -y - x$		$x - y + 1 = 4$
$1 - x = y - x$		$x + x = 0$

2.4.5. Решить уравнения и сделать проверку ($x$ — неизвестная, $a$ — параметр):

$x + 531 = 273$;
$x - 531 = 273$;
$344 - x = 118$;
$a - x = 37$;
$a - x = a$;
и т.п.

2.4.6. Старшему брату $a$ лет, а младшему брату $b$ лет. Каков будет возраст старшего брата, $x$, когда младшему будет $y$ лет? Решить задачу в общем виде и получить численный ответ при следующих значениях параметров: ${a = 11}$, ${b = 5}$, ${y = 18}$. Каков будет возраст младшего брата, $y$, когда старшему будет $x$ лет? Дать ответ в общем виде и получить его численное значение при ${a = 11}$, ${b = 5}$, ${x = 18}$.

2.4.7. Один брат старше другого на $a$ лет. Через $b$ лет старшему брату будет $c$ лет. Найти нынешний возраст старшего брата, $x$, и младшего брата, $y$. Вычислить ответ при ${a = 3}$, ${b = 10}$, ${c = 25}$.

2.4.8. У Дениса было какое-то количество конфет, и у Матвея было какое-то количество конфет. После того как Денис дал Матвею $a$ конфет, у них стало конфет поровну. На сколько конфет было у Дениса больше первоначально? Вычислить ответ при ${a = 3}$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Простейшие уравнения, неравенства и подстановки (натуральные числа)

Простейшие уравнения, неравенства и подстановки (целые числа)

Простейшие задачи с параметрами (натуральные числа)

Простейшие задачи с параметрами (целые числа)