2.5. Простейшие «текстовые» задачи

Изложенной до сих пор «теории», в принципе, достаточно, чтобы приступать к решению простейших «текстовых» задач школьного типа (разве что ребенок может попросить объяснить ему значение того или иного слова). Однако на практике для этого нужно знать еще кое-какие «тонкости». Вот об этих «тонкостях» и пойдет теперь речь.

Решение математических задач подобно переводу с одного языка на другой, например, с английского на русский. Техника перевода состоит в том, чтобы прочитав английский текст, живо представить себе описываемую «картинку», а потом описать ту же самую картинку по-русски. Решая математические задачи, мы переводим обычный человеческий язык в язык математических символов. Поскольку в данном случае речь идет о задачах в одно-два действия, от нас требуется перевести условие в простые примеры на сложение, вычитание, умножение или деление. Однако обязательным промежуточным этапом, опять-таки, являются «картинки». Если «картинок» не делать, а подходить к решению чисто формально, то результаты во многих случаях будут весьма плачевны (как плачевен машинный перевод с английского на русский).

Итак, приступим.

Задачи в одно действие на сложение и вычитание

Задача 2.5.1a. Денис просит маму:

— Дай мне, пожалуйста, $2$ рубля.

— На что тебе эти деньги? — интересуется мама.

— Я хочу купить шоколадку.

— Разве можно купить шоколадку за $2$ рубля?

— А у меня уже есть $18$ рублей. Я добавлю твои деньги и мне как раз хватит, чтобы купить шоколадку.

Сколько стоит шоколадка?

Эта задача очень простая. Потому я сейчас не буду здесь приводить ее решения, а сразу перейду к следующей.

Задача 2.5.1b. Денис просит маму:

— Дай мне, пожалуйста, $2$ рубля.

— На что тебе эти деньги? — интересуется мама.

— Я хочу купить $100$ шоколадок.

— Разве можно купить $100$ шоколадок на $2$ рубля?

— Нет, но у меня уже есть деньги на $99$ шоколадок, и даже еще $18$ рублей останется. Я добавлю твои деньги, и мне как раз хватит на $100$ шоколадок.

Сколько стоит одна шоколадка?

На первый взгляд, вторая задача может показаться сложнее первой. Но на самом деле, это абсолютно та же самая задача, просто сформулирована она слегка позаковырестей. Значит, решается она точно так же, и имеет точно такой же ответ:

$18$ рублей + $2$ рубля = $20$ рублей.

Очень часто в условие задачи помещают «лишнюю» информацию, чтобы сбить с толку неопытного ученика. На первых порах, приходится помогать ребенку отсеивать информационную «шелуху».

Задача 2.5.2a. Вася называет подряд все натуральные числа, начиная с числа $5$ и заканчивая числом $10$. Сколько всего чисел он назовет?

Вот эти числа:

$5, ~6, ~7, ~8, ~9, ~10$.

Пересчитываем и получаем ответ: $6$ чисел.

Задача 2.5.2b. Вася называет подряд все натуральные числа, начиная с числа $1$ и заканчивая числом $384$. Сколько всего чисел он назовет?

На этот раз, как-то неохота выписывать все числа. Выпишем несколько первых и несколько последних:

$1, ~2, ~3,~\dots~, ~383, ~384$.

Пересчитать все числа на этот раз мы не сможем, но и без того достаточно очевидно, что всего тут должно стоять $384$ чисел. Задача решена.

Задача 2.5.2c. Вася называет подряд все натуральные числа, начиная с числа $245$ и заканчивая числом $384$. Сколько всего чисел он назовет?

Начнем опять с того, что выпишем несколько первых и несколько последних чисел:

$245, ~246, ~247,~\dots~, ~383, ~384$.

Однако на этот раз ответ неочевиден. Значит, надо применить какой-то «трюк». Допустим, Вася «по ошибке» стал называть числа, начиная не с числа $245$, а с числа $1$:

$1, ~2, ~3,~\dots, ~383, ~384$ — всего $384$ числа.

Из них следующие числа названы «по ошибке»:

$1, ~2, ~3,~\dots, ~243, ~244$ — всего $244$ числа.

Значит, количество чисел, названных правильно, равно

$384 - 244 = 140$.

Задача решена.

Задача 2.5.2d. Вася называет подряд все целые числа, начиная с числа $(-123)$ и заканчивая числом $321$. Сколько всего чисел он назовет?

Понятно, что Вася вначале назовет отрицательные числа:

$-123, ~{-}122, ~{-}121,~\dots~, ~{-}2, ~{-}1$ — всего $123$ отрицательных числа;

затем

$0$ — одно число;

и, наконец, положительные числа:

$1, ~2, ~3,~\dots~, ~321$ — всего $321$ положительное число.

Всех чисел вместе взятых будет названо:

$123 + 1 + 321 = 445$.

Задача решена.

Задачи такого типа могут быть сформулированы и более «научно». Например,

Задача 2.5.3a. Сколько существует таких натуральных чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство

$5 \leqslant x \leqslant 10$?

Символ «$\leqslant$» означает «меньше или равно», однако эту запись принято читать так: «$x$ больше или равен пяти и меньше или равен десяти». Короче говоря, $x$ может быть любым из следующих чисел:

$5, ~6, ~7, ~8, ~9, ~10$.

Задача заключается в том, чтобы посчитать количество чисел в данном ряду. Подобные задачи мы решать, конечно, уже умеем.

Задача 2.5.3b. Сколько существует таких натуральных чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство

$5 < x < 10$?

Здесь всё очень похоже, только на этот раз вместо символа «$\leqslant$» («меньше или равно») стоит более привычный нам символ «<» (просто «меньше»): $x$ больше пяти, но меньше десяти. Значит, на этот раз $x$ может принимать значения:

$6, ~7, ~8, ~9$.

Задача 2.5.3c. Сколько существует таких натуральных чисел $x$, для которых выполняется двойное неравенство

$5 \leqslant x < 10$?

В этой задаче $x$ может быть равен $5$, но не может быть равен $10$. Возможные значения $x$ таковы:

$5, ~6, ~7, ~8, ~9$.

Настало время сделать небольшое обобщение. Пусть ряд целых чисел начинается с числа $a$ и заканчивается числом $b$:

$a, ~a + 1, ~a + 2,~\dots~, ~b - 1, ~b$.

Числа $a$ и $b$ необязательно положительны, однако подразумевается, что ${a \leqslant b}$. Тогда число чисел в этом ряду равно

$b - (a - 1) = b - a + 1$.

Задача 2.5.4a. Я вбил в землю колышек и прикрепил к нему табличку с надписью «$0$». Затем я сделал один шаг вдоль по тропинке и после этого вбил в землю еще один колышек, снова прикрепил к нему табличку, но на этот раз написал на ней число «$1$». Так я продолжал шагать, вбивать колышки и прикреплять к ним таблички, на которых указывал количество проделанных шагов. Всего я вбил $5$ колышков. Сколько я сделал шагов?

Если над этой задачей не слишком задумываться, то можно, пожалуй, рассудить так: «Сколько колышков, столько и шагов. Раз $5$ колышков, значит, $5$ шагов». Однако легко убедиться, что это не так, сделав простой рисунок:

Здесь $5$ колышков, но только $4$ шага.

Задача 2.5.4b. У Маши сегодня день рождения. Ей пошел четвертый год. Сколько лет исполнилось Маше?

Это почти в точности такая же задача, как и предыдущая. И на этот раз нам поможет рисунок.

В тот день когда Маша появилась на свет, ей было ноль лет и пошел первый год. Когда же ей пошел четвертый год, ей исполнилось три года.

Задача 2.5.4c. Когда наступил $2000$-й год, некоторые люди полагали, что настало третье тысячелетие. Сколько же в действительности к этому моменту прошло лет с начала нашего летоисчисления? В каком году началось третье тысячелетие?

И снова, эта задача — почти точное повторение предыдущей. Мы ведем наше летоисчисление от рождения Иисуса Христа. В тот день, когда Иисусу Христу пошел $2000$-й год, ему исполнилось $1999$ лет. Третье же тысячелетие началось (а второе закончилось), когда Иисусу Христу исполнилось $2000$ лет, то есть тогда, когда наступил $2001$-й год.

Задача 2.5.5a. Вдоль тропинки через каждый шаг вбиты колышки с табличками. На каждой табличке написан номер колышка. Денис вышел на тропинку у колышка номер $15$, а свернул с тропинки у колышка номер $20$. Сколько шагов он прошел по тропинке?

Предположим, что нумерация колышков начинается с нуля. Когда Денис выходил на тропинку, он был на расстоянии $15$ шагов от колышка номер $0$. Когда Денис сворачивал с тропинки, это расстояние увеличилось до $20$ шагов. Значит, всего по тропинке он прошел

$20$ шагов $-~15$ шагов $=~5$ шагов.

Задача 2.5.5b. Вдоль тропинки через каждый (человеческий) шаг вбиты колышки с табличками. На каждой табличке написан номер колышка. Улитка выползла на тропинку сразу перед колышком номер $15$, а свернула с тропинки сразу перед колышком номер $20$. Мимо скольких колышков проползла улитка?

Предположим, что нумерация колышков начинается с нуля. Когда улитка выползла на тропинку, позади нее было $15$ колышков (см. задачу 10.4.а), а когда она сворачивала с тропинки, позади нее было $20$ колышков. Значит, ей повстречалось

$20$ колышков $-~15$ колышков $=~5$ колышков.

Задача 2.5.5c. Царь Горох взошел на престол в $1015$ году и окончил царствовать в $1020$ году. Сколько лет сидел на престоле царь Горох?

Строго говоря, мы не можем в точности вычислить, сколько лет сидел на престоле царь Горох, потому что ответ зависит от того, в начале или в конце $1015$-го года он сел на престол, а также в начале или в конце $1020$-го года закончилось его царствование. Однако мы можем выяснить, сколько раз царь Горох встречал Новый год, сидя на троне. Эта задача очень похожа на предыдущую. Каждая встреча Нового года подобна колышку, на котором написано, какой год только что закончился. Царь Горох начал царствовать перед колышком номер $1015$, а закончил царствовать перед колышком номер $1020$. Всего он встретил

$1020$ колышков $-~1015$ колышков $=~5$ колышков (Новых годов).

Задача 2.5.6a. Вдоль тропинки через каждый шаг вбиты колышки с табличками. На одном из колышков поставлен номер $0$. Все колышки по одну сторону от него пронумерованы положительными числами. Все колышки по другую сторону пронумерованы отрицательными числами. Сколько шагов между колышком номер $-3$ и колышком номер $+4$?

От колышка $-3$ до колышка $0$ — три шага, а от колышка $0$ до колышка $+4$ — четыре шага. Всего шагов

$3$ шага $+~4$ шага $=~7$ шагов.

Задача 2.5.6b. По тропинке из предыдущей задачи проползла улитка. Она выползла на тропинку сразу после колышка $-3$, а свернула с тропинки сразу перед колышком $+4$. Сколько колышков повстречала улитка на своем пути?

Первым улитке повстречался колышек ${(-3 + 1) = -2}$, а последним — колышек ${(+4 - 1) = +3}$. Значит, она повстречала $2$ колышка с отрицательными номерами, $1$ колышек с номером $0$ и $3$ колышка с положительными номерами. Всего колышков

$2 + 1 + 3 = 6$.

Задача 2.5.6c. Царь Горох начал царствовать в $3$-м году до нашей эры, а закончил — в $4$-м году нашей эры. Сколько лет царствовал царь Горох? (Точнее, сколько раз он встречал Новый год, сидя на троне?)

Эта задача решается точно так же, как и предыдущая:

$(3 - 1) + 1 + (4 - 1) = 6$.

Царь Горох просидел на троне $6$ лет. (Точнее, он встречал Новый год $6$ раз.)

 

Задачи в одно действие на умножение и деление

Задача 2.5.7a. На листе бумаги начерчена таблица. В ней $3$ строки и $4$ столбца. Сколько в таблице ячеек?

 

 

Тут всё, конечно, очень просто. Можно сразу выписывать ответ:

$3 \cdot 4 = 12$.

Эта задача, однако, примечательна тем, что к ней сводятся другие задачи, которые на первый взгляд кажутся более сложными.

Задача 2.5.7b. Вычислить площадь прямоугольника со сторонами $3$ сантиметра и $4$ сантиметра.

Мысленно нарисуем таблицу в которой $3$ строки и $4$ столбца, так чтобы высота каждой строки была равна одному сантиметру и ширина каждого столбца была равна одному сантиметру. Это и есть наш прямоугольник. Одна ячейка таблицы представляет собой квадрат со стороной один сантиметр. Таким образом, площать ячейки равна одному квадратному сантиметру. Сколько таких ячеек, столько и квадратных сантиметров в прямоугольнике. Значит, площадь прямоугольника равна

$3 \cdot 4 = 12$ (квадратных сантиметров)

Задача 2.5.7c. У клоуна в гардеробе имеется $3$ носка на правую ногу: красный, оранжевый, и желтый — и $4$ носка на левую ногу: зеленый, голубой, синий и фиолетовый. Сколькими разными способами он может составить одну пару носков?

Мысленно рисуем таблицу, в которую заносим все варианты.

 

 

В этой таблице ${3 \cdot 4 = 12}$ ячеек, а значит клоун может составить одну пару носков $12$ способами.

Задача 2.5.8a. В одной коробке лежит $5$ шоколадок. Сколько шоколадок в $7$ таких коробках?

Ответ очевиден:

$7 \cdot 5 = 35$.

Задача 2.5.8b. Для того чтобы проползти один метр, черепахе требуется $5$ минут. За сколько минут она проползет $7$ метров?

Представим себе, что один метр — это коробка, в которой, наподобие шоколадок, уложены $5$ минут. У нас $7$ таких коробок, а значит, всего

$7 \cdot 5 = 35$

шоколадок — то есть, конечно, не шоколадок, а минут.

Задача 2.5.8c. Ваня за один час проходит $5$ километров. Сколько километров он пройдет за $7$ часов?

На этот раз час — это коробка, в которую упакованы километры. Их число находим как обычно:

$7 \cdot 5 = 35$.

 

Задачи в несколько действий

Задача 2.5.9a. У Маши и Миши вместе $10$ конфет. Если бы у Маши было на $4$ конфеты меньше, то конфет у них было бы поровну. Сколько конфет у каждого по отдельности?

Если бы у Маши было бы на $4$ конфеты меньше, то всего у них было бы

$10 - 4 = 6$ (конфет),

а у каждого по отдельности

$6 / 2 = 3$ (конфеты).

Именно столько сейчас конфет у Миши. А у Маши сейчас

$3 + 4 = 7$ (конфет).

Задача 2.5.9b. Сумма двух чисел равна $10$, а их разность равна $4$. Что это за числа?

По сути, это та же задача, что и предыдущая. Если бы большее число было на $4$ меньше, чем оно есть на самом деле, то оно бы было равно меньшему, а их сумма равнялась

$10 - 4 = 6$.

Отсюда меньшее число равно

$6 / 2 = 3$,

а большее —

$3 + 4 = 7$.

Задача 2.5.9c. Сумма трех чисел равна $10$. Второе число на $4$ больше первого, а третье число на $1$ меньше второго. Что это за числа?

Сперва заметим, что третье число на

$4 - 1 = 3$

больше первого. После этого задача становится очень похожей на две предыдущие. Если бы второе число было бы на 4 меньше, чем оно есть на самом деле, а третье – на 3, то их сумма была бы равна

$10 - 4 - 3 = 3$.

Значит, первое число равно

$3 / 3 = 1$,

второе —

$1 + 4 = 5$,

а третье —

$5 - 1 = 4$.

 

Задача 2.5.10a. У Маши и Миши вместе $20$ конфет, причем у Маши в $3$ раза больше конфет, чем у Миши. Сколько конфет у каждого по отдельности?

Представим себе Мишины конфеты в виде одной кучки. Тогда у Маши — $3$ таких кучки. Вместе у них

$1 + 3 = 4$

кучки. Значит одна кучка состоит из

$20 / 4 = 5$

конфет. Именно столько конфет у Миши. Значит, у Маши

$5 \cdot 3 = 15$

конфет.

Задача 2.5.10b. Периметр прямоугольника равен $40$ см, причем его длина в $3$ раза больше ширины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.

В этой задаче главное — не испугаться незнакомого слова «периметр». Математики, вообще, любят называть всякими мудреными словами совершенно простые вещи. Периметр — это сумма длин всех сторон прямоугольника, то есть

длина + ширина + длина + ширина.

В этой задаче нам гораздо удобнее иметь дело с полупериметром, который, очевидно, равен:

длина + высота $=~40 / 2 = 20$ (см).

После этого задача полностью свелась к предыдущей. Только в роли кучки конфет у нас тут выступает отрезок, равный ширине прямоугольника. В полупериметр укладывается

$1 + 3 = 4$

таких отрезков. Таким образом, ширина прямоугольника —

$20 / 4 = 5$ (см).

А его длина —

$5 \cdot 3 = 15$ (см).

Задача 2.5.10c. У Миши $12$ конфет, а у Маши $8$ конфет. Сколько конфет должен дать Миша Маше, чтобы у Маши стало в $3$ раза больше конфет, чем у Миши?

Всего у Маши с Мишей

$12 + 8 = 20$

конфет на двоих. Из двух предыдущих задач мы знаем, что у Миши должно стать 5 конфет. Значит, он должен отдать Маше

$12 - 5 = 7$ (конфет).

 

Задача 2.5.11. Найти стороны треугольника, если известно, что длины первой и второй сторон составляют в сумме $5$ см, первой и третьей — $6$ см, а второй и третьей — $7$ см.

Если сложить все числа, приведенные в условии, и в полученную сумму длина каждой из сторон будет входить дважды:

$5 + 6 + 7 = 18$ (см).

Разделив это число пополам, получим периметр, то есть суммарную длину всех сторон:

$18 / 2 = 9$ (см).

Длина третьей стороны — это периметр минус суммарная длина двух первых сторон, то есть

$9 - 5 = 4$ (см).

Точно так же, длина второй стороны равна

$9 - 6 = 3$ (см).

Длина первой стороны —

$9 - 7 = 2$ (см).

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

 

Задачи в одно арифметическое действие

С натуральными числами

С целыми числами

С параметрами (натуральные числа)

С параметрами (целые числа)

 
Задачи в одно арифметическое действие (с возможным дополнительным прибавлением или вычитанием единицы)

С натуральными числами

С целыми числами

С параметрами (натуральные числа)

С параметрами (целые числа)

 
Задачи в несколько арифметических действий

Совсем простые

Посложнее

Совсем простые с параметрами

Посложнее с параметрами