2.7. Операции и операторы. Функции. Подстановки

Допустим, я прошу Дениса посчитать, сколько конфет я съел за день.

— До обеда я съел $3$ конфеты, а после обеда $2$ конфеты, — диктую я.

Денис записывает карандашом выражение:

$3 + 2$

— Э, нет, постой, после обеда я съел не $2$ конфеты, а... Сейчас, подожди-ка, дай припомнить.

Денис берет резинку и стирает число $2$. На его месте осталось сероватое пятнышко. Поскольку среди типографских знаков сероватых пятнышек нет, я вместо него напишу многоточие, заключенное в скобки:

$3 + (...)$

То, что при этом получилось, является типичным примером оператора. Вообще говоря, оператор — это то, что остается от выражения, если стереть в нем одно или несколько чисел, оставив все знаки арифметических действий нетронутыми. Сам по себе оператор — вещь совершенно бессмысленная. Это всего лишь заготовка, которая превращается в полноценное выражение, только если заполнить подобающим образом прилагаемые к нему «свободные» места.

— Ага, вспомнил! — говорю я Денису. — После обеда я съел $5$ конфет.

Денис записывает:

$3 + 5 = 8$.

Говорят, что Денис подействовал оператором

$3 + (...)$

на число $5$ и в результате получил $8$. В некотором смысле оператор — это своеобразная машина по переработке чисел. В данном случае Денис ввел в машину число $5$, а та переработала его в число $8$. Такая переработка на математическом языке называется операцией.

Оператор может действовать не только на числа, но и на выражения. Например, я мог бы сказать Денису, что $4$ конфеты я съел сразу после обеда и еще одну конфету спустя некоторое время. Тогда Денис записал бы число конфет, съеденных мной после обеда, в виде выражения

$4 + 1$.

Подействовав на это выражение оператором

$3 + (...)$,

он бы нашел общее число съеденных за день конфет в следующем виде:

$3 + (4 + 1)$.

Правило действия оператора на выражение таково: мы просто вписываем выражение на место многоточия, а скобки сохраняем. Потом, при желании, их можно раскрыть, но это уже отдельная процедура.

Необходимость сохранения скобок легко понять на следующем примере. Допустим, я говорю Денису:

— Всего за день я съел $8$ конфет. Интересно, сколько конфет я съел до обеда, если после обеда я съел... я съел... Подожди минуточку, сейчас припомню...

Денис тем временем уже заготавливает оператор

$8 - (...)$.

Я же продолжаю:

— Вначале я съел $4$ конфеты, а потом еще одну.

Денис действует заготовленным оператором на выражение

$4 + 1$

и получает

$8 − (4 + 1)$.

Если бы он не сохранил скобки, то получилось бы

$8 − 4 + 1$,

что, конечно же, неверно.

Итак, чтобы изготовить оператор, надо взять какое-то выражение, стереть в нем некоторые числа и на их место поставить многоточие, заключенное в скобки (...). Если мы стерли лишь одно единственное число, то такой оператор называется унарным (то есть одинарным или одноместным). Вот примеры унарных операторов:

$3 + (...)$

$4 - (...)$

$(...) + 5$

$(...) - 6$

$10 + ((...) - 2)$

На практике, последовательность символов ${(...)}$ писать не принято, если и без того ясно, в какое место следует поставить недостающее число. Поэтому первые четыре оператора лучше переписать так:

$3~+$

$4~-$

$+~5$

$-~6$

Лишь последний оператор из этой серии придется пока оставить, как есть:

$10 + ((...) - 2)$.

Но тогда сразу возникает вопрос. Как же тогда отличить оператор $+~5$ от целого положительного числа $+5$ и как отличить оператор $-~6$ от целого отрицательного числа $-6$?

А никак. Потому что такой оператор — это одна из многих форм, которые могут принимать числа. Мы знаем, что числа, в зависимости от ситуации, можно представлять себе либо в виде кучек из конфет, либо в виде ступенек лестницы, либо в виде команд по перемещению по лестнице. Теперь этот ряд возможностей у нас еще немножко расширился.

Давайте вспомним, какие задачи мы решали с помощью целых чисел. Кузнечик прыгает по лестнице, начиная с этажа, где находится квартира Дениса. Сперва он прыгнул на $2$ ступеньки вниз, потом на $5$ ступенек вверх, потом опять на $7$ ступенек вниз. На сколько ступенек и в каком направлении переместился кузнечик?

Мы не знаем номера ступеньки, на которой сидел кузнечик первоначально. Но в любом случае, если мы подействуем на этот номер оператором $-~2$, то спустимся вниз на две ступеньки. Поэтому положение кузнечика после первого прыжка можно представить в виде

$(...) - 2$,

или, короче:

$-2$.

Далее, мы действует на эту запись оператором $+~5$ и поднимаем кузнечика на пять ступенек вверх:

$((...) - 2) + 5$,

или, короче:

$-2 + 5$.

И, наконец, с помощью оператора $-~7$ опускаем его на семь ступенек вниз:

$(((...) - 2) + 5) - 7$,

или, короче:

$-2 + 5 - 7$.

Хотите — понимайте это выражение как сумму целых чисел, хотите — просто как ряд целых чисел, выписанных друг за другом, хотите — как цепочку операторов. Это уж дело вкуса. Но мы уже умеем вычислять значение подобных выражения:

$-2 + 5 - 7 = -4$.

Значит, и цепочку операторов мы можем записать короче, или, как говорят математики, упростить:

$(((...) - 2) + 5) - 7 = (...) - 4$.

Мы получили так называемое операторное равенство. Предполагается, что на стертые с обеих сторон места ${(...)}$ следует вписать одно и то же число. Пока мы не знаем, каким будет это число, можно вместо него поставить какую-нибудь переменную, например, $x$:

$((x - 2) + 5) - 7 = x - 4$.

Это не что иное, как тождество, которое, после раскрытия скобок, принимает вид:

$x - 2 + 5 - 7 = x - 4$.

Конечно, такая запись короче и удобнее, чем запись с многоточием. К тому же, тут уже сразу ясно, что и слева, и справа от знака равенстсва вместо переменной $x$ должно стоять одно и то же число. Никаких дополнительных пояснений на этот счет делать не требуется.

Поэтому на практике, запись с многоточием ${(...)}$ никогда не употребляется. Либо многоточие и окружающие его скобки просто удаляют (и тогда запись ${(...) - 2}$ превращается просто в $-2$), либо ставят на их место какую-нибудь переменную.

Нам недавно встречался оператор

$10 + ((...) - 2)$.

Очевидно, отсюда нельзя просто убрать ${(...)}$, так как тогда получилось бы

$10 + (-2)$,

а такая запись имеет совсем другой смысл. Здесь, по необходимости, приходится вводить переменную. В качестве такой переменной подойдет любая буква, но особенно часто употребляются последние три буквы латинского алфавита, то есть $x$, $y$ или $z$. Таким образом, наш оператор можно записать, например, так:

$10 + (y - 2)$.

Правда, в таком виде это называется уже не оператором, а функцией (или, если уж совсем точно, то функцией от независимой переменной $y$), но суть от перемены названия не меняется. Функция отличается от оператора только способом записи. Когда мы просто удаляем символы ${(...)}$, то оператор остается оператором, а когда мы вместо этих символов пишем переменную, то оператор превращается в функцию.

Функции действуют на числа и выражения точно так же, как и операторы, хотя описывается это действие несколько в других словах. Например, принято говорить, что мы находим значение функции

$8 - z$

при

$z = 4 - 1$.

Это делается с помощью так называемой подстановки. На место переменной $z$ в записи $8 - z$ мы подставляем то выражение, которому эта переменная равна, то есть $4 - 1$. При этом, во избежание неприятностей, подставляемое выражение обязательно брать в скобки:

$8 - (4 - 1)$.

Отсюда, искомое значение функции равно:

$8 - (4 - 1) = 8 - 3 = 5$.

По сути, это значит абсолютно то же самое, что подействовать оператором

$8 - (...)$

на выражение

$4 - 1$.

Фактически, функции — это не что иное, как уже знакомые нам выражения с переменными. Поэтому вместо слов «найти значение функции» часто говорят «найти значение выражения».

Всякий оператор можно записать в виде функции, но это не всегда удобно. Операторная запись часто оказывается значительно проще. Для того чтобы подействовать, например, оператором $- 2$ на число $3$, не надо думать ни о каких подстановках, а достаточно просто это число приписать слева от оператора:

$3 - 2$.

Обычно в тех случаях, когда можно построить оператор, действующий посредством «приписывания», математики предпочитают пользоваться именно оператором. Но если такого оператора построить нельзя, как в рассмотренном ранее примере

$10 + ((...) - 2)$,

то приходиться прибегать к функциям.

До сих пор мы рассматривали только унарные (одноместные) операторы. Но можно также взять какое-то выражение и стереть в нем не одно, а сразу два числа. Тогда мы получим так называемый бинарный (или двуместный) оператор. Вот примеры бинарных операторов:

$(...) + 5 - (...) + 3$,

$2 - ((...) + 1) + (...)$.

Впрочем, эти примеры хороши лишь как примеры. На практике подобными операторами пользуются редко, потому что в таких случаях удобнее иметь дело с функциями двух независимых переменных:

$x + 5 − y + 3$,

$2 − (u + 1) + v$.

Однако есть и такие бинарные операторы, которые применяются очень широко. Например:

$(...) + (...)$

или в более короткой записи:

$+$

Этот оператор называется «плюс» и определяет операцию сложения. Как и всякий оператор, сам по себе он совершенно бессмыслен. Он приобретает смысл только тогда, когда по обе стороны от него приписывается по числу.

А вот другой, не менее распространенный оператор:

$(...) - (...)$

или же

$-$

Он, как нетрудно догадаться, называется «минус» и определяет операцию вычитания.

Мы настолько часто сталкиваемся с этими операторами, что приводить тут какие-то дополнительные пояснительные примеры, по-видимому, совершенно излишне.

Разумеется, если у бинарного оператора занять только одно свободное место, то получится унарный оператор. Особое значение имеют два следующих унарных оператора:

$0 + (...)$,
$0 - (...)$.

Это так называемые унарный плюс и унарный минус. Обычно при их написании опускают не только многоточие со скобками, но и стоящий слева ноль. В результате, по написанию они ничем не отличаются от бинарного плюса и бинарного минуса. К путанице это обычно не приводит, потому что сами по себе операторы всё равно бессмысленны и приобретают смысл только при наличии определенного окружения, а по этому окружению всегда можно догадаться, о чем, собственно, идет речь.

 

Например, когда мы говорим, что кузнечик сидит на ступеньке номер $-2$, мы имеем дело с унарным минусом, потому что $-2$ это на самом деле ${0 - 2}$. Это отражает тот факт, что номер ступеньки совпадает с командой, которую надо выполнить, чтобы переместиться на эту ступеньку с нулевого уровня.

 

Когда же мы говорим, что кузнечик прыгнул со ступеньки номер $3$ на две ступеньки вниз:

$3 - 2$,

речь идет, конечно, о бинарном минусе. Впрочем, это выражение можно записать и по-другому:

$3 + (-2)$.

Здесь снова на сцену выходит унарный минус, потому что более подробная запись выглядела бы так:

$3 + (0 - 2)$.

Возвращаясь к вопросу о том, какая разница между оператором $-~6$ и отрицательным числом $-6$, можно сказать, что, если уж делать между ними различие, то оператор — это

$(...) - 6$,

а число — это

$0 - 6$.

Кстати, машина по переработке чисел с помощью операторов существует в реальности и называется калькулятор. У всякого калькулятора есть кнопки, соответствующие бинарному плюсу, бинарному минусу и унарному минусу. Унарный плюс, впрочем, отсутствует за ненадобностью.

Конспект

1. Берем числовое выражение, заменяем в нем одно из чисел на многоточие, заключенное в скобки — то есть ${(...)}$ — и получаем унарный (или одноместный) оператор. Например, выражение ${3 + 2}$ можно превратить в оператор ${3 + (...)}$. На место многоточия $...$ мы можем теперь вписать любое другое число, например пятерку: ${3 + 5}$. Говорят, что мы подействовали оператором ${3 + (...)}$ на число $5$. Иначе говоря, оператор $3 + (...)$ перерабатывает число $5$ в число, равное ${3 + 5 = 8}$. Такая переработка называется операцией. Оператор может действовать не только на числа, но и на выражения. Например, если подействовать оператором ${3 + (...)}$ на выражение ${4 + 1}$, то получится ${3 + (4 + 1)}$.

2. Символы ${(...)}$ можно не писать, если и без того понятно, где они должны находиться. Например, вместо ${(...) - 6}$ достаточно написать ${-~6}$. Оператор ${-~6}$ фактически не отличается от отрицательного числа $-6$. Целые числа (иначе говоря: числа со знаками) можно представлять себе именно как разновидность операторов.

3. Пока мы не знаем, какое число поставить на место ${(...)}$, можно вписать туда какую-нибудь переменную. Например, вместо ${8 - (...)}$ написать ${8 - x}$. В результате получается функция от независимой переменной $x$. Впоследствии переменную $x$ можно будет заменить на какое-нибудь число или выражение, то есть сделать подстановку. Например, значение функции ${8 - x}$ при ${x = 4 - 1}$ с помощью подстановки находится так:

${8 - x = 8 - (4 - 1) = 8 - 3 = 5}$.

4. Если в числовом выражении заменить два числа на $(...)$, то получится бинарный (или двуместный) оператор. Примеры бинарных операторов:

${(...) + (...)}$, или сокращенно   $+$  (бинарный плюс)

${(...) - (...)}$, или сокращенно   $-$   (бинарный минус)

5. Помимо бинарного плюса и бинарного минуса, существуют также унарный плюс и унарный минус:

$0 + (...)$

$0 - (...)$

6. На практике запись операторов с ${(...)}$ не употребляется. Если простое стирание ${(...)}$ приводит к искажению смысла, то вместо операторов используются функции. В унарном плюсе и минусе опускается не только ${(...)}$, но и $0$. Действуя этими операторами на числа, мы пишем, например, $+2$ или $-3$.

Задачи

2.7.1. Подействовать оператором на данное выражение и вычислить результат. (Здесь и далее требуется вначале выполнить подстановку, а потом произвести вычисления.)

 

2.7.2. Подействовать оператором на данное выражение с параметром и упростить результат.

 

2.7.3. Подействовать бинарным оператором на данные выражения и вычислить результат (первое выражение поставить слева, а второе — справа от оператора).

 

2.7.4. Подействовать бинарным оператором на данные выражения c параметром и упростить результат (первое выражение поставить слева, а второе — справа от оператора).

 

2.7.5. Вычислить значение функции при заданном значении переменной.

 

2.7.6. Выразить значение функции через параметр a при заданном значении переменной $x$.

 

2.7.7. Вычислить значение функции от двух переменных.

 

2.7.8. Выразить значение функции через параметр a при заданном значении переменных $x$ и $y$.

 

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Подбор операторов («+» или «−») в примерах в два действия