3.2. Умножение «в столбик»

До сих пор мы умели только умножать на счетах в пределах ${24 \times 24}$. Настало время научиться перемножать бóльшие числа, и не на счетах, а на бумаге — с помощью процедуры, которая называется умножением «в столбик».

Надо честно признаться: умножение «в столбик» — это одна из самых неприятных и нудных вещей во всей математике. Хуже нее только деление «уголком», которым мы тоже вскоре займемся. Как только мы освоим умножение «в столбик» и деление «уголком», мы можем смело утверждать, что самый трудный участок на пути изучения математики у нас остался позади.

Прежде всего нам понадобится таблица умножения в пределах от ${2 \times 2}$ до ${9 \times 9}$. Удобнее всего ее записать в таком виде:

Это так называемая таблица Пифагора. Здесь на пересечении строки, помеченной числом $3$, и колонки, помеченной числом $5$, стоит как раз произведение чисел ${3 \cdot 5}$, то есть $15$. Подобным же образом мы можем по этой таблице быстро найти произведение любых однозначных чисел (за исключением нуля и единицы, но умножать на ноль и единицу настолько легко, что никакая таблица не нужна).

В школе эту таблицу заставляют учить наизусть. На мой взгляд, в этом нет никакой необходимости. Пусть она просто будет под рукой, и этого совершенно достаточно. По мере того как мы будем практиковаться в умножении «в столбик», она выучится сама собой.

Таблицу умножения на отдельном листе (в формате pdf) можно взять здесь.

Итак, приступим к умножению чисел. Для начала научимся умножать многозначные числа (состоящие из нескольких цифр) на однозначные (состоящие из одной цифры). Пусть нам надо вычислить

${6879 \cdot 7}$.

Воспользовавшись свойствами умножения, которые мы проходили на прошлом уроке, мы можем написать:

Перепишем это в виде упрощенной таблицы (очень похожей на ту, какую мы писали, когда учились сложению столбиком):

Теперь остается сложить числа под горизонтальной линией — и ответ готов:

Надо ли пояснять, откуда взялись маленькие единички над нашим ответом? Когда мы в разряде десятков сложили $6$ и $9$, то получили $15$. Последнюю цифру этого числа (то есть пятерку) мы записали в ответе в разряде десятков, а первую цифру этого числа (то есть единицу) перенесли в следующий разряд в виде маленькой приподнятой единички. Потом в разряде сотен мы стали складывать $4$ и $6$, и не забыли добавить сюда же эту самую единичку. Получившееся число $11$ тоже записали наискосок: вторую единицу покрупнее и пониже (в аккурат в строке ответа), а первую единицу поменьше и повыше.

Мы теперь, в принципе, умеем умножать на однозначное число. Но давайте подумаем над усовершенствованиями. Во-первых, перепишем нашу табличку в более компактном виде:

А во-вторых, подумаем над возможностью более радикального сокращения записи. Вернемся в исходное положение:

В разряде единиц умножим $9$ на $7$. Результат $63$ запишем, как и раньше, наискосок, но шестерку сделаем совсем маленькой:

Теперь умножим в разряде десятков $7$ на $7$. Получаем $49$. Прибавляем сюда нашу «маленькую» шестерку: ${49 + 6 = 55}$. Этот результат опять записываем наискосок:

Переходим к разряду сотен: ${8 \cdot 7 + 5 = 61}$. Записываем:

И, наконец, в разряде тысяч получаем ${6 \cdot 7 + 6 = 48}$:

Здесь мы еще перенесли «маленькую» четверку в разряде десятков тысяч вниз, чтобы получить окончательный ответ. Не правда ли, наши вычисления стали короче, а запись еще более компактной?

Теперь возникает резонный вопрос. А как мы будем записывать эти вычисления в нашей тетрадке по математике, разлинованной в клетку? Будем ли мы писать «маленькие» цифры в отдельном ряду клеток или же втискивать их в тот же ряд клеток, где у нас записан ответ? Оба варианта не слишком хороши. Поэтому я предлагаю делать наши вычисления в столбик на отдельных листах бумаги. Для этого прекрасно подойдут обычные белые листы, какие используются для принтеров и копировальных машин. А тех, кому работать на линованной бумаге всё же привычнее, приглашаю воспользоваться листами с особой линовкой.

Лист со специальной линовкой для вычислений можно взять здесь (формат pdf).

Надо отметить, что в школе учат умножать «в столбик» несколько по-другому. Отличие состоит в том, что «маленькие» цифры не записывают на бумагу, а держат в уме — вероятно, по той именно причине, что в стандартных тетрадках в клетку их проcто некуда записывать. На мой взгляд, это слишком усложняет процесс счета и только способствует ошибкам.

Переходим к умножению на двузначные числа. Пусть требуется вычислить

${6879 \cdot 67}$.

Ну что ж, приступим.

Здесь при умножении на $6$ мы воспользовались тем же приемом, что и при умножении на $7$, только к каждому получившемуся слагаемому приписали еще $0$ из-за дополнительного умножения на $10$. Сумму «желтых» слагаемых находим точно так же, как раньше мы находили сумму «зеленых» слагаемых:

Складываем получившиеся ряды «больших» цифр и получаем окончательный ответ (при этом «маленькие» цифры можно зачеркнуть, чтобы не мешались):

Подобным же образом делается умножение на трехзначные числа. Например:
 

Если в середине трехзначного числа стоит ноль, то запись выглядит так:
 

Наконец, умножение круглых чисел (которые оканчиваются нулями) записывается в таком виде:
 

Конспект

1. Таблица умножения — это таблица, из которой можно узнать результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга. (Умножение на единицу может быть опущено, так как результат в этом случае очевиден.) 

2. Умножение «в столбик» многозначного числа на однозначное. К первому сомножителю — многозначному числу — приписываем снизу, под разрядом единиц, второй сомножитель — однозначный. Еще ниже резервируем две строки: первая, вспомогательная, — половинной высоты; вторая, предназначенная для ответа, — нормальной высоты.

Умножаем разряд единиц первого сомножителя на второй (однозначный) сомножитель — в результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа — под разрядом единиц. Предпоследнюю цифру (если она есть) записываем во вспомогательную строку в разряд десятков.

Умножаем разряд десятков первого сомножителя на второй сомножитель и прибавляем цифру, стоящую в разряде десятков во вспомогательной строке (если она там есть). В результате получаем однозначное или двузначное число. Последнюю цифру этого числа пишем в строке ответа в разряде десятков. Предпоследнюю (если она есть) — во вспомогательной строке в разряде сотен.

Продолжаем точно также со всеми остальными разрядами. Если при умножении самого старшего разряда мы поставили во вспомогательную строку какое-то число, то переносим его в строку ответа.

3. Умножение «в столбик» двух многозначных чисел. Первое число умножаем на каждый из разрядов второго числа — так, как мы это делали, когда умножали многозначное число на однозначное. Результаты записываем «в столбик» друг под другом со сдвигом согласно разряду, а затем складываем их.

4. При умножении друг на друга круглых чисел, оканчивающихся нулями, отбрасываем сперва конечные нули, а потом, получив окончательный результат, приписываем к нему справа столько нулей, сколько мы их первоначально отбросили.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Умножение на однозначное число

Умножение на двузначное число

Умножение на трехзначное число