3.12. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь $11/4$ в десятичную. Проще всего сделать это так:

$\dfrac{11}{4} = 2\, \dfrac{\,3\,}{4} = 2\, \dfrac{3}{2 \cdot 2} = 2\,\dfrac{3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = 2\, \dfrac{75}{100} = 2{,}75$.

Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы умножили числитель и знаменатель дополнительно на две пятерки, воспользовались тем, что $10 = 2 \cdot 5$, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, только в том случае, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, на которое эту дробь нельзя сократить, то такую дробь преобразовать к десятичной не получится. Тем не менее мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы сначала познакомимся на примере всё той же дроби $11/4$. Давайте поделим $11$ на $4$ «уголком»:

 

$1$	$1$	$4$
	$8$	$2$
	$3$

В строке ответа мы получили целую часть ( $2$ ), и еще у нас есть остаток ( $3$ ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( $11$ ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( $3$ ):

 

$1$	$1$	$4$
	$8$	$2$
	$3$	$0$

Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:

 

$1$	$1$	$4$
	$8$	$2$,	$7$
	$3$	$0$
	$2$	$8$
		$2$

Теперь приписываем к остатку ( $2$ ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:

 

$1$	$1$	$4$
	$8$	$2,$	$7$	$5$
	$3$	$0$
	$2$	$8$
		$2$	$0$
		$2$	$0$
			$0$

В результате получаем, как и раньше,

$11/4 = 2{,}75$.

Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь $27/11$:

 

$2$	$7$	$1$	$1$
$2$	$2$	$2,$	$4$	$5$
	$5$	$0$
	$4$	$4$
		$6$	$0$
		$5$	$5$
			$5$

Мы получили в строке ответа число $2{,}45$, а в строке остатка — число  $5$ . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет $4$, затем пойдет цифра $5$, потом — снова $4$ и снова $5$, и так далее, до бесконечности:

$27 / 11 = 2,454545454545...$

Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом $45$. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:

$2{,}454545454545... = 2{,}(45)$.

Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную

Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:

$a = 0{,}2(45)$.

Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?

Умножим ее на число $10^k$, где $k$ — это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае $k = 1$ и $10^k = 10$:

$a \cdot 10^k = 2{,}(45)$.

Полученный результат умножим на $10^n$, где $n$ — длина периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае $n = 2$ и $10^n = 100$:

$a \cdot 10^k \cdot 10^n = 245{,}(45)$.

Теперь вычислим разность

$a \cdot 10^k \cdot 10^n - a \cdot 10^k = 245{,}(45) - 2{,}(45)$.

Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно $a$:

$a \cdot 10^k \cdot (10^n - 1) = 245 - 2$.

После того как мы подставим сюда значения $10^k$ и $10^n$, это уравнение решается так:

$a \cdot 10 \cdot (100 - 1) = 245 - 2$.

$a \cdot 10 \cdot 99 = 245 - 2$.

$a =$	$245$  $-$  $2$	.
	$10$  $\cdot$  $99$

Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( $245$ ) — это дробная часть числа

$a = 0{,}2(45)$,

если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( $2$ ) — это непериодическая часть числа $a$, располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( $10$ ) — это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части ($k$). Второй сомножитель в знаменателе ( $99$ ) — это столько девяток, сколько цифр содержит период ($n$).

Теперь наши вычисления можно довести до конца:

$a = \dfrac{243}{10 \cdot 99} = \dfrac{3 \cdot 3 \cdot 27}{2 \cdot 5~ \cdot~ 3 \cdot 3 \cdot 11} = \dfrac{27}{110}$.

Если непериодическая часть отсутствует, то ситуация заметно упрощается. Пусть, например,

$b = 0{,}(45)$.

Воспользовавшись плодами наших рассуждений, мы получаем

$b = \dfrac{\,45\,}{99}$.

Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на $9$ полученная дробь оказывается равной

$b = \dfrac{\,5\,}{11}$.

Любопытный результат получается, если перевести в обыкновенную дробь число

$0{,}(9) = 0{,}9999999...$

Действительно, согласно только что установленным правилам,

$0{,}(9) = \dfrac{\,9\,}{9} = 1$.

Подобным же образом

$0{,}5999999... = 0{,}6$.

Конспект

1. Несократимая обыкновенная дробь может быть преобразована в конечную десятичную только в том случае, если разложение ее знаменателя на простые сомножители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Для этого числитель и знаменатель надо умножить на такое число, которое обеспечит равное количество двоек и пятерок в разложении знаменателя, например:

$\dfrac{11}{4} = 2\, \dfrac{\,3\,}{4} = 2\, \dfrac{3}{2 \cdot 2} = 2\,\dfrac{3 \cdot 5 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = 2\, \dfrac{75}{100} = 2{,}75$.

2. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную с помощью деления «уголком», если не останавливать процедуру деления на разряде единиц, а продолжать ее для последующих разрядов — десятых, сотых и так далее. При этом возможно два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже раньше встречался. В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая, например:

$(1)~ \dfrac{\,11\,}{4} = 2{,}75;~~~(2)~ \dfrac{\,27\,}{11} = 2,454545454545 {\,\dots} = 2{,}(45)$.

3. Преобразование периодической десятичной дроби с нулевой целой частью в обыкновенную осуществляется по образцу:

$0{,}2(45) =$	$245$  $-$  $2$	.
	$10$  $\cdot$  $99$

где  $245$  — это дробная часть числа $0{,}2(45)$ с удаленными скобками;  $2$  — непериодическая часть;  $10$  — единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части;  $99$  — столько девяток, сколько цифр содержит период. Если непериодическая часть отсутствует, то преобразование упрощается:

$0{,}(45) = \dfrac{\,45\,}{99}$.

Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. В частности, ${0{,}9999999... = 0{,}(9) = 9/9 = 1}$.

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Перевод десятичной дроби в обыкновенную