3.14. Единицы измерения и размерность

Единицы измерения

Я уже не раз говорил, что число, само по себе, — это ничего не значащая бессмыслица. Иногда это становится особенно очевидно. Допустим, мы зашли в ювелирный магазин и увидели там красивый камушек.

— Сколько он стоит? — хотим мы знать.

— Пятьдесят, — отвечают нам.

Удовлетворил ли такой ответ наше любопытство? — Нет, потому что «пятьдесят» бывают разные, например:

$50$ копеек,

$50$ рублей,

$50$ тысяч рублей.

Пояснительные слова (такие как копейки, рубли, тысячи рублей), стоящие при числах и придающие им смысл, называются единицами измерения или же просто единицами. Число вместе с сопутствующей ему единицей измерения называется (физической) величиной. При решении практических задач, опускать единицы измерения допустимо только в том случае, если мы заранее договоримся, какие именно единицы мы используем. Например, мы могли бы спросить:

— Сколько рублей стоит этот камушек?

Тогда ответ «пятьдесят» оказался бы вполне осмысленным и исчерпывающим.

Рассмотрим такую задачу. У Дениса в одном кармане $1{,}5$ тысяч рублей, а в другом — еще $300$ рублей. Спрашивается, сколько всего у Дениса денег? Очевидно, содержимое обоих карманов надо сложить, и чисто формально решение задачи можно записать так:

$1{,}5$ тыс. руб.$~+~300$ руб.

С практической точки зрения, однако, подобное решение является неудовлетворительным. Допустим, мы хотим проделать вычисления с помощью калькулятора. В калькулятор нельзя ввести никаких единиц измерения, а только «голые» числа. Как тут быть? Очевидно, единицы измерения придется просто отбросить. Но не так:

$1{,}5$ + $300$,

потому что в этом случае получается полная чушь. Нам нужно прежде всего договориться об общей единице измерения для обоих слагаемых. Пусть это будет, например, рубль. Мы знаем, что

тыс. руб.$~=~1000$ руб.

Поэтому, сделав подстановку, мы можем переписать нашу сумму в таком виде:

$\phantom{=~}1{,}5$ тыс. руб.$~+~300$ руб. =

$=~1{,}5~\cdot$ $1000$ руб.$~+~300$ руб. =

$=~1500$ руб.$~+~300$ руб.

Таким образом, мы выразили все слагаемые в одинаковых единицах измерения, а именно — в рублях. Теперь эти единицы измерения позволительно отбросить, чтобы проделать вычисления на калькуляторе:

$1500 + 300 = 1800$.

Получив численный ответ, мы восстанавливаем отброшенную ранее единицу измерения и получаем окончательно

$1800$ руб.

Подобным же образом задачу можно решить, проделав вычисления в тысячах рублей:

$\phantom{=~}1{,}5$ тыс. руб.$~+ 300$ руб. $=$ (делаем подстановку)

$=~1{,}5$ тыс. руб.$~+~300~\cdot$ $0{,}001$ тыс. руб. $=$ (упрощаем)

$=~1{,}5$ тыс. руб.$~+~0{,}3$ тыс. руб. $=$ (отбрасываем ед. измерения)

$=~1{,}5 + 0{,}3 =$ (считаем на калькуляторе)

$=~1,8 =$ (восстанавливаем ед. измерения)

$=~1{,}8$ тыс. руб.

 

Или же в копейках:

$\phantom{=~}1{,}5$ тыс. руб.$~+~300$ руб. $=$

$=~1{,}5~\cdot$ $100000$ коп.$~+~300 \cdot$ $100$ коп. $=$

$=~150000$ коп.$~+~30000$ коп. $=$

$=~150000 + 30000 =$

$=~180000 =$

$=~180000$ коп.

Ответ мы во всех случаях получили одинаковый, потому что

$1800$ руб.$~=~1{,}8$ тыс. руб. $=~180000$ коп.

На этих примерах мы видим, что

Если мы проводим расчеты в рублях, тогда

руб.$~=~1$,

тыс. руб.$~=~1000$.

Если мы проводим расчеты в тысячах рублей, тогда

руб.$~=~0{,}001$,

тыс. руб.$~=~1$.

А если расчеты проводить в копейках, то

коп.$~=~1$,

руб.$~=~100$,

тыс. руб.$~=~100000$.

Это наблюдение имеет первостепенную важность, потому что оно дает нам возможность обращаться с единицами измерения так, как если бы они были числами. Например, обретает смысл выражение

$3$ руб.$~\cdot~5$.

Действительно, если мы условимся проводить вычисления в рублях, то руб. = $1$, и тогда

$3$ руб.$~\cdot~5 = 3 \cdot 5 = 5 + 5 + 5 = 15 = 15$ руб.

Теперь мы, наконец, можем во всех случаях с полным правом пользоваться коммутативностью (переместительностью) умножения:

$ab$ = $ba$,

не заботясь о том, что именно подразумевается под параметрами $a$ и $b$: разы, рубли, люди, поросята или что-то еще.

Более того, на единицы измерения можно делить. Допустим, мы купили $5$ кг картошки, уплатив за покупку $100$ руб. Тогда цена картошки равна

$\dfrac{100~\textit{руб.}}{5~\textit{кг}} = 20\, \dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}}$.

то есть двадцать рублей за килограмм. Теперь мы можем, например, рассчитать, сколько денег придется уплатить за $10$ кг картошки:

$\require{cancel}20\, \dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}} \cdot 10~\textit{кг} = \dfrac{20~\textit{руб.} \cdot 10~\cancel{\textit{кг}}}{\cancel{\textit{кг}}} = 20~\textit{руб.} \cdot 10 = 40~\textit{руб.}$

В ходе этих вычислений мы сократили дробь на «кг», как это мы раньше проделывали с обычными числами.

Перевод из одной единицы измерения в другую

Допустим, к нам в гости приехал иностранец, и он плохо представляет себе, что означает, что цена картошки равна $20$ руб./кг. Он просит нас перевести эту цену в евро за центнер (€/ц). При этом известно, что

$1$ € $=~50$ руб.,

$1$ ц $=~100$ кг.

Просьбу нашего гостя можно исполнить двумя способами.

Первый способ — подстановка. Мы, собственно, этим способом уже пользовались раньше. Сперва мы должны выразить рубли через евро, а килограммы — через центнеры:

$1$ руб.$~=~(1/50)$ € = $0{,}02$ €,

$1$ кг$~=~(1/100)$ ц = $0{,}01$ ц.

Выполняем подстановку и получаем:

$20$	руб.	= $20$	$0{,}02$ €	= $40$	€	.
	кг		$0{,}01$ ц		ц

Второй способ — «умножение на единицу». Удобство этого способа заключается в том, что нам не нужно выражать рубли через евро, а килограммы через центнеры. Достаточно заметить, что

$\dfrac{1~\text{€}}{50~\textit{руб.}} = 1$,

$\dfrac{100~\textit{кг}}{1~\textit{ц}} = 1$.

Умножаем исходную величину на единицы, записанные в таком виде, и получаем:

$\require{cancel}20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}} = 20\,\,\dfrac{\cancel{\textit{руб.}}}{\cancel{~\textit{кг}~}} \cdot \dfrac{1~\text{€}}{50~\cancel{\textit{руб.}}} \cdot \dfrac{100~\cancel{\textit{кг}~}}{1~\textit{ц}} =$

$= 20 \cdot \dfrac{1~\text{€}}{50} \cdot \dfrac{100}{1~\textit{ц}} = 40\,\dfrac{\,\text{€}\,}{\textit{ц}}$.

Второй способ является несколько более интеллектуальным, так как надо еще сообразить, в каком виде записать единицы, чтобы «лишние» единицы измерения благополучно сократились.

Размерность

Допустим, цена картошки в ближайшем магазине равна $20$ руб./кг, а в каком-нибудь американском супермаркете картошку продают по цене $0{,}5$ долларов за фунт ($/ф). Тогда мы говорим, что цена картошки выражена в разных единицах. Это различие вызвано тем, что мы пока не договорились с американцами о том, чтобы использовать одинаковые единицы измерения для количества денег и веса картошки.

Но допустим, что такой договор был достигнут, и для удобства российских туристов цена на картошку в американском супермаркете стала указываться как $40$ руб./кг. Побывав в этом супермаркете, покупатель может, например, купить $3$ кг картошки, заплатив за покупку $120$ руб. Выпишем приведенные величины еще раз:

Цена картошки: $40$ руб./кг.

Вес картошки: $3$ кг.

Платеж за покупку: $120$ руб.

Обратите внимания, что руб./кг $\ne$ кг $\ne$ руб. При этом никакими договорами, никакими переводами одних единиц в другие мы не можем сделать так, чтобы цена, вес и платеж были выражены в одних и тех же единицах измерения. Говорят, что эти величины имеют разные размерности. В противоположность этому, цена на картошку и цена на помидоры всегда имеет одинаковую размерность, равную размерности платежа, поделенной на размерность веса. Соотношение между размерностями может быть записано в виде равенства:

цена = платеж / вес.

Величины, имеющие разные размерности, нельзя сравнивать между собой и нельзя складывать ни при каких обстоятельствах. Например, мы не можем сказать, что $120$ рублей больше трех килограммов, а следующие суммы представляют из себя полный абсурд:

$3$ кг + $120$ руб.,

$40$ руб./кг + $3$ кг.

Спрашивается: а можно ли сказать, что «$120$ рублей» и «$3$ доллара» имеют одинаковую размерность? Хотя по логике вещей это и не было бы ошибкой, но так обычно не говорят. Размерности, как правило, сравнивают между собой лишь после того, как договорятся применять одинаковые единицы измерения всегда, когда это только возможно.

Представление о размерности оказывается чрезвычайно полезным при решении задач. Предположим, нас спрашивают: сколько картошки можно купить на $100$ руб., если она стоит $20$ руб./кг? Допустим, мы вообще не поняли смысла задачи. Тем не менее, мы запросто можем написать правильный ответ. В самом деле, нам даны две величины: $100$ руб. и $20$ руб./кг. Поскольку размерности у них разные, мы не можем ни складывать их, ни вычитать друг из друга. Остается только умножать или делить. Попробуем для начала умножить:

$100~\textit{руб.} \cdot 20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}} = 2000\,\dfrac{\,\textit{руб.}^2}{\textit{кг}}$.

По размерности полученного ответа (руб.$^2$/кг) мы сразу же видим, что он неверен, потому что количество картошки никак не может выражаться в таких диковинных единицах. Попробуем деление:

$\dfrac{20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}}}{100~\textit{руб.}} = 0{,}2\,\dfrac{1}{\textit{кг}}.$

И снова размерность результата ($1$/кг) говорит нам о том, что мы оказались на ложном пути. У нас остается последняя возможность — воспользоваться делением еще раз, поменяв местами числитель и знаменатель:

$\dfrac{100~\textit{руб.}}{20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}}} = 5~\textit{кг}.$

На этот раз размерность получилась подходящей. В чем же еще измерять количество картошки, как не в килограммах! Теперь у нас есть все основания полагать, что решение, которое мы подобрали, — правильное. Конечно, для полной уверенности лучше разобраться в сути задачи. Однако же и подсказками, которые дают нам размерности, пренебрегать ни в коем случае не следует.

Безразмерные величины

Допустим, мы хотим знать, во сколько раз цена картошки в американском супермаркете больше, чем в ближайшем магазине. Это находится таким образом:

$\dfrac{40~\textit{руб.} / \textit{кг}}{20~\textit{руб.} / \textit{кг}} = 2.$

Здесь размерности (руб./кг) в числителе и в знаменателе сократились, и в результате мы получили безразмерную величину. Мы говорим, однако: цена картошки в одном магазине в $2$ раза больше, чем в другом. Что же это за размерность такая — разы, и откуда она взялась, если в формуле, по которой мы нашли ответ, ее не было? Это противоречие легко разрешить, заметив что

раз = $1$.

Действительно, при переходе к расчетам на калькуляторе, «раз» всегда заменяется на «$1$», какими бы единицами измерения мы ни пользовались для других величин. Таким образом, всякая величина, которая измеряется в разах, является безразмерной. Тут уместно, пожалуй, вспомнить, как русскоязычные люди пересчитывают предметы:

Раз, два, три, четыре, пять...

Вообще, все численные величины, которые являются результатом подобного простого пересчета, являются безразмерными, например:

$5$ штук,

$10$ человек,

$15$ поросят

и т.п.

Причина этому всё та же: ведя расчеты на калькуляторе, мы всегда заменяем «штуку», «человека» и «поросенка» на «$1$». И всё-таки даже такие «безразмерные единицы измерения» лучше по возможности не опускать, потому что они придают числам осмысленность.

Рассмотрим такую задачу. Имеется $5$ коробок с шоколадными конфетами по $20$ конфет в каждой. Сколько всего конфет? Поскольку число коробок и число конфет являются величинами безразмерными, не будет ошибкой представить решение в следующем виде:

$5 \cdot 20 = 100$.

Но гораздо лучше написать так:

$5$ кор. $\cdot~20$ конф./кор.$~=~100$ конф.

Такая запись нагляднее, информативнее и менее подвержена ошибкам.

Конспект

1. Числа обретают смысл, только когда сопровождаются пояснительными словами: мы не знаем, что такое «три», но мы знаем, что такое «три рубля». Пояснительные слова (такие как копейки, рубли, тысячи рублей), стоящие при числах и придающие им смысл, называются единицами измерения. Число вместе с сопутствующей ему единицей измерения называется (физической) величиной.

2. При сложении и вычитании физических величин нужно позаботиться о том, чтобы они были выражены в одинаковых единицах измерения, например:

$\begin{align*} &1{,}5~\textit{тыс. руб.}~+~300~\textit{руб.}~= \\ =~&1{,}5 \cdot 1000~\textit{руб.}~+~300~\textit{руб.} =\\ =~&1500~\textit{руб.}~+~300~\textit{руб.}~=~1800~\textit{руб.}\\[2mm] &1{,}5~\textit{тыс. руб.}~+~300~\textit{руб.}~= \\ =~&1{,}5~\textit{тыс. руб.}~+~300 \cdot 0{,}001~\textit{тыс. руб.} =\\ =~&1{,}500~\textit{тыс. руб.}~+~0{,}3~\textit{тыс. руб.}~=~1{,}8~\textit{тыс. руб.} \end{align*}$

3. С единицами измерения можно обращаться как с параметрами, которые принимают разные числовые значения в зависимости от того, в каких единицах мы проводим численные расчеты. Так, если мы проводим вычисления в рублях, то руб. ${= 1}$; тыс. руб. ${= 1000}$. Если мы проводим расчеты в тысячах рублей, тогда руб. $= 0{,}001$; тыс. руб. $= 1$. В частности, на единицы измерения можно умножать в любом порядке, а также делить на них.

4. Перевод из одной единицы измерения в другую:

Способ 1. Подстановка.

$20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}} = 20\,\dfrac{0{,}02~\text{€}}{0{,}01~\textit{ц}} = 40\,\dfrac{\,€\,}{\textit{ц}}$.

Способ 2. «Умножение на единицу».

$20\,\dfrac{\,\textit{руб.}}{\textit{кг}} = 20\,\,\dfrac{\textit{руб.}}{\,\textit{кг}\,} \cdot \dfrac{1~\text{€}}{50~\textit{руб.}} \cdot \dfrac{100~\,\textit{кг}\,}{1~\textit{ц}} = 20 \cdot \dfrac{1~\text{€}}{50} \cdot \dfrac{100}{1~\textit{ц}} = 40\,\dfrac{\,\text{€}\,}{\textit{ц}}.$

5. Говорят, что две физические величины имеют разную размерность, если их единицы измерения нельзя перевести одна в другую. Пример: цена картошки и ее вес. Величины, имеющие разную размерность, невозможно сравнивать и невозможно складывать между собой.

6. Понятие размерности позволяет иногда угадывать решение задачи без понимания ее сути. Пусть, например, спрашивается: сколько картошки можно купить на $100$ руб., если она стоит $20$ руб.$/$кг? Единственное решение, обеспечивающее правильную размерность ответа, таково:

$\dfrac{~100~\textit{руб.}}{20~\textit{руб.}/\textit{кг}} = 5~\textit{кг}$.

7. Когда мы проводим численные расчеты с такими величинами, как «$2$ раза», «$5$ штук», «$15$ поросят», мы всегда заменяем сопроводительные слова (разы, штуки, поросята) на единицу. Подобные величины называются безразмерными. Хотя при решении задач «безразмерные единицы» сохранять необязательно, они придают решению наглядность и в какой-то мере защищает от ошибок. Например, если у нас есть $5$ коробок по $20$ конфет в каждой, то всего конфет:

$5~\textit{кор.}~\cdot~20~\textit{конф.}/\textit{кор.}~=~100~\textit{конф.}$

Из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Перевод единиц денежной стоимости, расстояния, массы

Перевод единиц времени

Перевод всех основных единиц измерения (разряды, деньги, расстояние, масса, время)

Сложение и вычитание длин

Перевод сложных единиц измерения