4.4. Симметрия относительно точки. Параллелограмм

Немного терминологии

Пусть нам даны на плоскости две произвольные прямые $m$ и $n$. Отметим на прямой $m$ какую-либо точку $M$, а на прямой $n$ — какую-либо точку $N$. Проведем третью прямую через точки $M$ и $N$. При этом образуется две четверки углов, как показано на рисунке:

Здесь у дуг, обозначающих углы, отсутствуют стрелочки, поскольку нас сейчас интересуют угловые расстояния, а не угловые смещения. Можно сказать, что в данной геометрической конструкции угол $\bbox[#ffff99]{\alpha_1}$ соответствует углу $\bbox[#ffff99]{\alpha_2}$. Именно так эти углы и называются — соответственными по отношению друг к другу. Аналогичным образом, соответственными являются пары углов:

$\bbox[#ccffcc]{\beta_1}$ и $\bbox[#ccffcc]{\beta_2}$,

$\bbox[#ffff99]{\gamma_1}$ и $\bbox[#ffff99]{\gamma_2}$,

$\bbox[#ccffcc]{\delta_1}$ и $\bbox[#ccffcc]{\delta_2}$.

(Замечу в скобках, что похожие по смыслу величины у математиков принято обозначать одинаковыми буквами и различать их по так называемому индексу — числовому или буквенному довеску, приписываемому справа внизу мелким шрифтом. Так, в обозначении $\alpha_1$ основным символом является $\alpha$, а индексом — число $1$).

На прошлом уроке мы ввели понятие параллельных прямых: две несовпадающие прямые называются параллельными, если угол между ними равен нулю.

Угол же между двумя прямыми всегда можно найти как разность соответственных углов, образуемых при пересечении с какой-либо третьей прямой. Так, угол $\varphi$ между прямыми $m$ и $n$ равен

$\varphi = |\bbox[#ffff99]{\alpha_2} - \bbox[#ffff99]{\alpha_1}|$.

Здесь мы взяли результат по абсолютной величине, поскольку речь идет об угловом расстоянии, а не об угловом смещении. При этом совершенно безразлично, какую пару соответственных углов брать. С тем же успехом мы могли бы написать

$\varphi = |\bbox[#ccffcc]{\beta_2} - \bbox[#ccffcc]{\beta_1}|$,

$\varphi = |\bbox[#ffff99]{\gamma_2} - \bbox[#ffff99]{\gamma_1}|$,

$\varphi = |\bbox[#ccffcc]{\delta_2} - \bbox[#ccffcc]{\delta_1}|$.

Действительно, угол $\bbox[#ccffcc]{\beta_1}$ является смежным с углом $\bbox[#ffff99]{\alpha_1}$, а угол $\bbox[#ccffcc]{\beta_2}$ — смежным с углом $\bbox[#ffff99]{\alpha_2}$, следовательно,

$\bbox[#ccffcc]{\beta_1} = 180^\circ - \bbox[#ffff99]{\alpha_1}$,

$\bbox[#ccffcc]{\beta_2} = 180^\circ - \bbox[#ffff99]{\alpha_2}$,

$|\bbox[#ccffcc]{\beta_2} - \bbox[#ccffcc]{\beta_1}| = |\bbox[#ffff99]{\alpha_2} - \bbox[#ffff99]{\alpha_1}|$.

По точно такой же причине,

$|\bbox[#ccffcc]{\delta_2} - \bbox[#ccffcc]{\delta_1}| = |\bbox[#ffff99]{\alpha_2} - \bbox[#ffff99]{\alpha_1}|$.

Что же касается углов $\bbox[#ffff99]{\gamma_1}$ и $\bbox[#ffff99]{\gamma_2}$, то они являются вертикальными по отношению к $\bbox[#ffff99]{\alpha_1}$ и $\bbox[#ffff99]{\alpha_2}$, а потому

$\bbox[#ffff99]{\gamma_1} = \bbox[#ffff99]{\alpha_1}$,

$\bbox[#ffff99]{\gamma_2} = \bbox[#ffff99]{\alpha_2}$.

Значит, угол $\varphi$ между прямыми $n$ и $m$ можно найти как

$\varphi = |\bbox[#ffff99]{\alpha_2} - \bbox[#ffff99]{\gamma_1}|$.

Углы $\bbox[#ffff99]{\alpha_2}$ и $\bbox[#ffff99]{\gamma_1}$ в рассматриваемой геометрической конструкции называются внутренними накрест лежащими. Другой парой внутренних накрест лежащих углов здесь являются углы $\bbox[#ccffcc]{\delta_2}$ и $\bbox[#ccffcc]{\beta_1}$, разность которых также можно использовать для нахождения угла $\varphi$:

$\varphi = |\bbox[#ccffcc]{\delta_2} - \bbox[#ccffcc]{\beta_1}|$.

Таким образом, две прямые, пересеченные какой-либо третьей, являются параллельными тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы равны между собой.

Симметрия относительно точки

Рассмотрим на плоскости две произвольные параллельные прямые $m$ и $n$. Пусть $M$ — какая-либо точка, принадлежащая прямой $m$, а $N$ — какая-либо точка, принадлежащая прямой $n$. Соединим эти точки отрезком $MN$. Выберем какую-либо пару накрест лежащих углов и обозначим каждый из них буквой $\alpha$ (мы вправе это сделать, потому что эти углы равны между собой).

Отметим на отрезке $MN$ середину и обозначим ее буквой $O$. В скором времени мы научимся изящному способу делить отрезок на любое число частей, но пока мы можем просто измерить длину отрезка $MN$ (напомню, что она обозначается как $|MN|$), поделить ее пополам: $|MN|/2$, а потом отложить указанное расстояние вдоль отрезка $MN$, начиная от любого из его концов.

Теперь, не выходя из плоскости, повернем полученную геометрическую конструкцию на полоборота ($180^\circ$) вокруг точки $O$. При этом, как это принято в математике, за старыми положениями точек $M$ и $N$ сохраняются старые обозначения, а для их новых положений мы должны подобрать новые обозначения, например, $M_1$ и $N_1$. Это же относится и к обозначениям прямых. Если до поворота они обозначались как $m$ и $n$, то после поворота они должны обозначаться как-то по-другому, например, $m_1$ и $n_1$.

Замечание. Когда мы вводили понятие точки, мы отмечали, что, если не оговорено противное, точки считаются неподвижными. Теперь к этому необходимо добавить, что только неподвижные точки могут иметь собственные обозначения, такие как $M$, $N$, $M_1$, $N_1$ и т.п. Подвижная же точка собственного обозначения никогда не имеет и распознается по той неподвижной точке, где она в данный момент находится. Это же относится и, вообще, к любым подвижным геометрическим объектам (прямым, отрезкам и др.).

Нетрудно видеть, что местоположение точки $N_1$ полностью совпадает с местоположением точки $M$, то есть фактически это одна и та же точка. Подобным же образом, точка $M_1$ совпадает с точкой $N$. Более того, из-за равенства накрест лежащих углов прямая $n_1$ в точности ложится на прямую $m$, а прямая $m_1$ — на прямую $n$. Возвращаясь к первоначальным обозначениям, мы приходим к тому же самому положению вещей, которое было до поворота:

Мы рассмотрели частный случай так называемой симметрии относительно точки. В общем случае эта симметрия определяется следующим образом. Пусть на плоскости задана некоторая точка $O$. Симметрией относительно этой точки называется поворот вокруг нее на угол $180^\circ$ (в пределах той же плоскости).

При этом сама точка $O$ называется центром симметрии.

Точки $M$ и $N$, переходящие друг в друга в результате такого поворота, называются симметричными (одна по отношению к другой). Центр симметрии $O$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в точности пополам.

Также называются симметричными любые пары геометрических объектов (прямых, отрезков и т.п.), если они переходят друг в друга.

Про геометрическую конструкцию, которая переходит сама в себя, говорят, что она центрально-симметрична или же что она обладает центром симметрии (подразумевая под таким центром точку $O$).

Пусть даны две произвольные точки $M$ и $O$. Чтобы построить точку $N$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$, надо проделать следующее.

Проведем прямую $OM$. Направление от $O$ к $M$ примем за положительное. Отложим от точки $O$ вдоль прямой в отрицательном направлении отрезок $ON$, равный по длине отрезку $OM$. Это удобнее всего делать с помощью циркуля. Угол $\angle MON$ равен по величине $180^\circ$, а значит, его стороны получаются друг из друга поворотом на $180^\circ$ (безразлично в каком направлении), при этом точка $M$ переходит в точку $N$, и наоборот, точка $N$ переходит в точку $M$. Таким образом, эти точки являются симметричными.

Перечислим некоторые очевидные свойства симметрии относительно точки.

1. Прямая центрально-симметрична относительно любой из своих точек.

2. Отрезок центрально-симметричен относительно своей середины.

3. Если точки $M$ и $N$ симметричны, то центр симметрии $O$ совпадает с серединой отрезка $MN$.

4. Параллельные прямые симметричны относительно середины отрезка, один из концов которого лежит на одной прямой, а другой конец — на другой прямой (мы это доказали чуть выше).

Параллелограмм

Вернемся к паре параллельных прямых $\bbox[#ffff99]{m}$ и $\bbox[#ffff99]{n}$ из предыдущего пункта. Отметим на прямой $\bbox[#ffff99]{m}$ произвольную точку $K$, не совпадающую с $M$, и проведем через точки $K$ и $N$ прямую, которую мы обозначим буквой $\bbox[#ccffcc]{k}$.

Далее, проведем через точку $M$ еще одну прямую, параллельную $\bbox[#ccffcc]{k}$, и обозначим ее через $\bbox[#ccffcc]{l}$. Мы снова пришли к симметричной конструкции. Мы имеем:

Прямые $\bbox[#ffff99]{m}$ и $\bbox[#ffff99]{n}$ симметричны, как было показано ранее.

Прямые $\bbox[#ccffcc]{k}$ и $\bbox[#ccffcc]{l}$ симметричны по той же причине, что и прямые $\bbox[#ffff99]{m}$ и $\bbox[#ffff99]{n}$.

Прямые $\bbox[#ccffcc]{k}$ и $\bbox[#ffff99]{m}$ пересекаются в точке $K$.

Следовательно, у прямых $\bbox[#ccffcc]{l}$ и $\bbox[#ffff99]{n}$ также есть точка пересечения, которая симметрична точке $K$. Обозначим ее буквой $L$.

У нас образовалась замкнутая цепочка из четырех отрезков $LM$, $MK$, $KN$ и $NL$. В этой цепочки соседние отрезки имеют общие концы, а противоположные отрезки параллельны (то есть лежат на параллельных прямых). Внутренняя часть плоскости, ограниченная такой цепочкой, называется параллелограммом.

Отрезки, служащие границей, также принадлежат параллелограмму и называются его сторонами.

Концы сторон, где они соединяются друг с другом, называются вершинами параллелограмма.

Внутренние углы между соседними сторонами (при вершинах) называются углами параллелограмма.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма, называются его диагоналями.

Всего у параллелограмма две диагонали, из которых мы пока построили только одну — отрезок $MN$. Проведем другую диагональ — $KL$. Она пересекает первую диагональ в точке $O$ и делится этой точкой пополам (в силу симметричности конструкции).

Таким образом, мы установили, что параллелограмм обладает центром симметрии, который находится в точке пересечения диагоналей. Вот еще два полезных свойства параллелограмма, следующие из его симметричности:

Длины противоположных сторон параллелограмма одинаковы.

Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

Параллелограмм обычно обозначают, перечисляя его вершины. Параллелограмм, который мы построили в данном случае, можно обозначить как $LMKN$.

Конспект

1. Угол между двумя прямыми, пересеченными третьей прямой, может быть найден как разность соответственных углов или же как разность внутренних накрест лежащих углов. В обоих случаях разность следует брать по абсолютной величине.

2. Две прямые, пересеченные третьей, параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы равны между собой. Такое же утверждение справедливо и для внутренних накрест лежащих углов.

3. Симметрия относительно точки $O$: поворот вокруг этой точки на $180^\circ$ (в пределах заданной плоскости).

4. Построение точки $N$, которая симметрична точке $M$ относительно центра $O$: на прямой $OM$ откладываем отрезок $ON$, равный по длине $|OM|$, в противоположную от $M$ сторону.

5. Параллелограмм: внутренняя часть плоскости, ограниченная замкнутой цепочкой из четырех отрезков, в которой противоположные отрезки параллельны друг другу. Граница принадлежит параллелограмму.

6. У параллелограмма имеются: стороны (граничные отрезки), вершины (точки соединения сторон), углы (внутренние при вершинах), диагонали (отрезки, соединяющие противоположные вершины).

7. Свойства параллелограмма:

Центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Длины противоположных сторон одинаковы.

Противоположные углы равны между собой.