1.7. Сложение и вычитание «столбиком»

Как мы знаем, любое число можно записать с помощью десяти значков, которые называются (арабскими) цифрами. Это значит, что для выполнения любых письменных заданий по математике не нужно уметь считать больше, чем до десяти. Пусть нам, например, дано задание пересчитать огромное число песчинок, высыпанных на стол. Мы отсчитываем десять песчинок и складываем их в одну кучку. Потом отсчитываем еще десять песчинок и складываем их в другую кучку. И так далее, и так далее, пока только можно. Оставшиеся песчинки, не попавшие ни в одну из кучек (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола, чтобы не мешались. Перед нами остались только кучки-десятки. Их-то мы и начинаем пересчитывать. И принимаемся мы за дело точно так же, как и тогда, когда перед нами была лишь большая россыпь отдельных песчинок. Отсчитав десять кучек-десятков, мы собираем их в одну кучку побольше — кучку-сотню. Потом делаем еще одну кучку-сотню и так далее, пока можно. Лишние кучки-десятки, не вошедшие ни в одну кучку-сотню (если такие будут), отодвигаем на дальний конец стола. Теперь приступаем к пересчету кучек-сотен. И так далее, и так далее — по уже знакомой схеме. Всякий раз мы имеем дело со всё более и более крупными кучками. Рано или поздно мы добьемся того, что кучек перед нами окажется меньше десяти. Теперь осталось заполнить следующую таблицу.

В самую правую колонку надо занести количество отдельных песчинок, не попавших ни в какие кучки. По-научному, эта колонка таблицы называется разрядом единиц. Говорят также, что это самый младший разряд числа. Во вторую колонку справа (разряд десятков) следует поставить количество кучек-десятков. И так далее. При необходимости, слева к таблице можно приписать еще любое количество столбцов (старших разрядов), и не так уж важно, как они называются. Если же столбцов, наоборот, окажется слишком много, то лишние столбцы слева можно стереть. Задание по пересчету песчинок выполнено.

Теперь рассмотрим, как можно сложить два больших числа, не пользуясь счетами. Допустим, к $1234$ песчинкам требуется прибавить $2345$ песчинок. Заносим оба числа в таблицу:

Поскольку мы собрались складывать эти числа, то и назвали мы их слагаемыми. Сложим по отдельности содержимое каждого разряда: единицы с единицами, десятки с десятками, сотни с сотнями, тысячи с тысячами, — и получим ответ:

Заметим, что результат сложения по-научному называется суммой. Таким образом,

$1234 + 2345 = 3579$

К сожалению, не всегда всё получается так просто. Пусть надо вычислить

$5678 + 6789$

Заносим слагаемые в таблицу, складываем по отдельности каждый разряд и получаем:

 

Прямо скажем, вышло плохо. Вот, к примеру, в самом младшем разряде оказалось $17$ песчинок. Из такого количества песчинок можно сделать одну полновесную кучку-десяток, и место этой кучке-десятку — в следующем по старшинству разряде. Придется переписать таблицу в другом виде, формируя по мере надобности новые кучки и сразу помещая их в правильный разряд. После этого остается еще раз выполнить сложение внутри каждого разряда, и только тогда получится правильный ответ:

Ну что ж, в принципе, так делать можно, но давайте подумаем, нельзя ли обойтись более короткой записью. Давайте еще раз сложим числа $5678$ и $6789$ и постараемся быть по возможности краткими. Ну, во-первых, нет никакой необходимости так тщательно разлиновывать таблицу и выписывать заголовки столбцов и строк. Напишем слагаемые просто так:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$

Проделаем сперва сложение в разряде единиц:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
			$1$	$7$

В результате такого сложения у нас образовалась дополнительная кучка-десяток, которую мы и записали в подходящий для нее разряд. Теперь, когда мы будем складывать кучки-десятки, мы учтем и эту дополнительную кучку тоже: $7$ десятков + $8$ десятков = $15$ десятков;  $15$ десятков + $1$ десяток = $16$ десятков;  $16$ десятков = $1$ сотня + $6$ десятков. Значит, следует написать:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
			$1$	$7$
		$1$	$6$

Подобным же образом, вновь образованную кучку-сотню мы учитываем при выполнении сложения в разряде сотен:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
			$1$	$7$
		$1$	$6$
	$1$	$4$

Наконец, осталось сложить всё, что оказалось в разряде тысяч (и, ради красоты, написать еще раз единицу из самого старшего разряда строчкой ниже):

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
			$1$	$7$
		$1$	$6$
	$1$	$4$
$1$	$2$
$1$

Ответ-то мы получили, это число $12467$, но записано оно как-то неудобно — лесенкой, идущей снизу вверх. Уж лучше писать лесенкой промежуточные результаты. Вот что получается, например, после сложения единиц:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
			$1$
				$7$

Продолжая писать такие маленькие лесенки, мы получим конечный ответ в виде:

+	$5$	$6$	$7$	$8$
	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$2$	$4$	$6$	$7$

Это уже гораздо красивее. Однако и этом пути нас ожидают мелкие неудобства. Пусть надо сложить числа $5172$ и $9284$. Начинаем, как обычно, с разряда единиц:

+	$5$	$1$	$7$	$2$
	$9$	$2$	$8$	$4$
				$6$

Очередь за разрядом десятков. Складываем $7$ и $8$ и получаем $15$. Ну, и куда теперь писать цифру $1$, куда цифру $5$? Мы же забыли оставить под чертой свободную строчку, откуда должны начинаться лесенки! Но, конечно, мы не будем ничего зачеркивать и переделывать. Мы просто запишем цифру $1$ на самый верх таблицы. Важно лишь то, чтобы она попала в правильный разряд:

		$1$
+	$5$	$1$	$7$	$2$
	$9$	$2$	$8$	$4$
			$5$	$6$

Теперь вычисления легко довести до конца:

$1$		$1$
+	$5$	$1$	$7$	$2$
	$9$	$2$	$8$	$4$
$1$	$4$	$4$	$5$	$6$

Наконец-то всё стало хорошо! Но можно сделать еще лучше. На самом верху всё равно ничего, кроме единичек, стоять не может. А значит, вовсе не обязательно эти единички так уж тщательно выписывать. Достаточно вместо этих единичек ставить небольшие аккуратные точки. Вот так:

•		•
+	$5$	$1$	$7$	$2$
	$9$	$2$	$8$	$4$
$1$	$4$	$4$	$5$	$6$

Теперь мы всё знаем про то, как складывать «в столбик»! Осталось только тренироваться и тренироваться, чтобы научиться это делать быстро и без ошибок.

Пора осваивать вычитание. Пусть требуется вычислить

$3579 - 1234$

Заготавливаем табличку:

 

−	$3$	$5$	$7$	$9$
	$1$	$2$	$3$	$4$

Проделываем вычитание в каждом разряде по отдельности и получаем ответ:

−	$3$	$5$	$7$	$9$
	$1$	$2$	$3$	$4$
	$2$	$3$	$4$	$5$

Ну а если из числа $12467$ требуется вычесть число $5678$? Начинаем как обычно:

−	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
		$5$	$6$	$7$	$8$

М-да… Ситуация в разряде единиц складывается очень неприятная. Из семи надо вычитать восемь. Но у нас уже есть кое-какой опыт. Мы знаем, как следует выходить из такого положения. Надо разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, и всё тогда встанет на свои места. Записать это можно так:

					$10$
−	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
		$5$	$6$	$7$	$8$
				$-1$

Теперь вычисления в разряде единиц можно проделать очень легко: ${10 + 7 = 17}$;  ${17 - 8 = 9}$. Заносим получившуюся девятку в таблицу:

					$10$
−	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
		$5$	$6$	$7$	$8$
				$-1$
					$9$

Переходим к разряду десятков. Здесь нас тоже ожидает неприятность. Из шести надо вычесть семь, а потом вычесть еще одну единицу. Повторяем трюк с разбиением кучки из более старшего разряда:

				$10$	$10$
−	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
		$5$	$6$	$7$	$8$
			$-1$	$-1$
					$9$

В разряде десятков теперь имеем: ${10 + 6 = 16}$;  ${16 - 7 = 9}$;  ${9 - 1 = 8}$. Продолжаем так дальше и в конце концов получаем:

		$10$	$10$	$10$	$10$
−	$1$	$2$	$4$	$6$	$7$
		$5$	$6$	$7$	$8$
	$-1$	$-1$	$-1$	$-1$
		$6$	$7$	$8$	$9$

Всё бы хорошо, да только мы уже знаем, что подобная форма записи может привести к некоторым неудобствам. Попробуем вычислить

$14456 - 5172$

В разряде единиц ситуация складывается очень удачно:

 

−	$1$	$4$	$4$	$5$	$6$
		$5$	$1$	$7$	$2$
					$4$

Переходим к вычислениям в разряде десятков. А здесь не всё так уж гладко. Придется записать так:

				$10$
			$-1$
−	$1$	$4$	$4$	$5$	$6$
		$5$	$1$	$7$	$2$
				$8$	$4$

Доводим вычисления до конца и получаем:

		$10$		$10$
	$-1$		$-1$
−	$1$	$4$	$4$	$5$	$6$
		$5$	$1$	$7$	$2$
		$9$	$2$	$8$	$4$

Но, конечно, эту запись хорошо бы еще сократить. Вовсе необязательно выписывать в верхней части таблички такие лесенки:

	$10$
$-1$

Всё это сооружение можно заменить на одну-единственную точку, которую удобно записать на месте «$-1$». В результате получается:

	•		•
−	$1$	$4$	$4$	$5$	$6$
		$5$	$1$	$7$	$2$
		$9$	$2$	$8$	$4$

Таким образом, точка наверху таблицы как бы разбивает кучку своего разряда на десять кучек более младшего разряда.

В качестве заключительного примера вычислим ${1000 - 1}$:

 

−	$1$	$0$	$0$	$0$
				$1$

Здесь, для того чтобы выполнить вычитание в разряде единиц, надо бы разбить кучку-десяток на отдельные песчинки, но и кучек-десятков у нас нет. Не беда! Мы немножко сфокусничаем. Сейчас мы как бы из воздуха позаимствуем одну кучку-десяток, но зато потом, когда мы будем проводить вычисления в разряде десятков, надо будет обязательно позаимствованную кучку вернуть. Смело ставим точку в разряд десятков. В разряде единиц получаем: ${10 + 0 = 10}$;  ${10 - 1 = 9}$:

			•
−	$1$	$0$	$0$	$0$
				$1$
				$9$

Пришло время разбираться с разрядом десятков. Здесь у нас есть ноль кучек, да еще одну кучку надо вернуть, о чем нам напоминает точка сверху. Ставим точку в разряд сотен и не задумываемся о том, разбивается ли при этом на десять кучек настоящая кучка-сотня или такая кучка заимствуется «из воздуха». Теперь в разряде десятков у нас есть десять кучек. Одну из них возвращаем, остается девять:

		•	•
−	$1$	$0$	$0$	$0$
				$1$
			$9$	$9$

Дальнейшие действия никакой сложности не представляют. Окончательный результат таков:

	•	•	•
−	$1$	$0$	$0$	$0$
				$1$
		$9$	$9$	$9$

Теперь и про вычитание нам всё известно. Осталось нарабатывать навык.

Конспект

1. Как определить, сколько песчинок в горсти песка, умея считать только до десяти? Объединяем песчинки в кучки по десять. Оставшиеся песчинки, не попавшие ни в одну из кучек, отодвигаем прочь. Здесь мы их пересчитываем, после чего записываем на бумаге результат пересчета (число в пределах от $0$ до $9$): это разряд единиц.

Укрупняем кучки, сливая каждые десять кучек поменьше в одну кучку побольше. Оставшиеся маленькие кучки, не попавшие ни в одну большую, отодвигаем прочь. Тут мы их пересчитываем и записываем полученное число на бумаге слева от предыдущего числа: это разряд десятков.

Повторяя эти действия со всё более и более крупными кучками, получаем следующие разряды: сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч, миллионы и так далее (название всех разрядов знать не обязательно). Останавливаемся, когда все песчинки оказались отодвинуты прочь.

2. Сложение двух чисел столбиком. К первому числу приписываем снизу второе число, так чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом. Еще ниже резервируем строку для ответа. Складываем единицы с единицами и записываем результат в строку ответа под разрядом единиц. Если результат больше девяти, то записываем только последнюю цифру, а вверху, над разрядом десятков, ставим точку.

Складываем десятки с десятками. Если вверху, над разрядом десятков, стоит точка, то прибавляем единицу. Записываем результат внизу, под разрядом десятков, — но опять-таки только последнюю цифру, а если результат больше девяти, то ставим точку над разрядом сотен.

Продолжаем точно так же со всеми остальными разрядами. Если при сложении самого старшего разряда мы поставили сверху точку, то переносим ее в стоку ответа в виде единицы.

3. Вычитание двух чисел столбиком. К первому числу приписываем снизу второе число, так чтобы одинаковые разряды оказались друг под другом. Вычитаем из единиц единицы. Если при этом оказывается, что мы из меньшего числа должны вычитать большее, то добавляем к первому числу десять, а сверху, над разрядом десятков, ставим точку. Результат записываем снизу под разрядом единиц.

Вычитаем из десятков десятки. Если вверху, над разрядом десятков, стоит точка, вычитаем дополнительно единицу. Если при этом получается, что мы из меньшего числа должны вычитать большее, прибавляем к первому числу десять, а сверху, над разрядом сотен, ставим точку. Записываем результат внизу под разрядом десятков.

Продолжаем точно так же со всеми остальными разрядами.

Примеры из «бесконечного» сборника типовых упражнений

Сложение и вычитание трехзначных натуральных чисел

Сложение и вычитание шестизначных натуральных чисел

Упражнения на переходы между разрядами